Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Für Summen unabhängiger Zufallsvariablen kennen wir bislang zwei Grenzwertsätze:
das Gesetz der großen Zahl und den Zentralen Grenzwertsatz. Das Gesetz der
großen Zahl beschreibt für großes n ∈ N das typische oder Mittelwertverhalten von
Summen von n Zufallsvariablen, während der Zentrale Grenzwertsatz die typischen
Fluktuationen um diesen Mittelwert quantitativ erfasst.
In Kapitel 23 werden wir die untypisch großen Fluktuationen (große Abweichungen)
quantitativ erfassen. Dagegen ist das Thema dieses Kapitels die genauere quantitative
Erfassung der typischen Fluktuationen, aber nun im gesamten zeitlichen Verlauf
n →∞. Die Botschaft lautet in etwa: Während zu fester Zeit die Partialsumme
Sn um etwa √ n von ihrem Erwartungswert abweicht (Zentraler Grenzwertsatz), ist
die maximale Fluktuation von der Ordnung √ n log log n (Satz von Hartman und
Wintner, Satz 22.9).
Wir beginnen mit der etwas leichteren Aufgabe, diese Fluktuationen zunächst für
die Brown’sche Bewegung auszurechnen (Satz 22.1). Danach werden wir sehen,
wie man Summen unabhängiger Zufallsvariablen (mit endlicher Varianz) in eine
Brown’sche Bewegung einbetten kann (Satz von Skorohod, Satz 22.5), um damit
die Aussage des Satzes von Hartman und Wintner zu zeigen.
Wir folgen in diesem Kapitel in Teilen der Darstellung in [38, Kapitel 7.9].
22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown’sche Bewegung
Sei (Bt)t≥0 eine Brown’sche Bewegung. In Beispiel 21.16 haben wir als Anwendung
des Blumenthal’schen 0-1 Gesetzes gesehen, dass lim sup t↓0 Bt/ √ t = ∞ f.s.
Da nach Satz 21.14 auch (tB 1/t)t≥0 eine Brown’sche Bewegung ist, folgt
lim sup
t→∞
Bt
√ t = ∞ f.s.
Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es, √ t durch eine Funktion zu ersetzen, sodass
der Limes superior endlich und nichttrivial wird.