Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

260 14 W-Maße auf Produkträumen
14.1 Produkträume
Definition 14.1 (Produktraum). Sei (Ωi, i∈ I) eine beliebige Familie von Mengen.
Mit Ω = × Ωi bezeichnen wir die Menge der Abbildungen ω : I →
i∈I
�
Ωi
i∈I
mit der Eigenschaft, dass ω(i) ∈ Ωi für jedes i ∈ I gilt. Ω heißt das Produkt der
(Ωi, i∈ I), oder kurz Produktraum. Sind speziell alle Ωi gleich, etwa Ωi = Ω0,
so schreiben wir Ω = × Ωi = Ω
i∈I
I 0.
Beispiele 14.2. (i) Ist Ω1 = {1,...,6} und Ω2 = {1, 2, 3}, soist
Ω1 × Ω2 = � ω =(ω1,ω2) : ω1 ∈{1,...,6}, ω2 ∈{1, 2, 3} � .
(ii) Ist Ω0 = R und I = {1, 2, 3}, soistR {1,2,3} isomorph zum üblichen R3 .
(iii) Ist Ω0 = R und I = N, soistRNder Raum der Folgen (ω(n), n∈ N) in R.
(iv) Ist I = R und Ω0 = R,soistRRMenge der Abbildungen R → R. ✸
Definition 14.3 (Koordinatenabbildung). Ist i ∈ I, so bezeichnet Xi : Ω → Ωi,
ω ↦→ ω(i) die i-te Koordinatenabbildung. Allgemeiner nennen wir für J ⊂ J ′ ⊂ I
die eingeschränkte Abbildung
′
J
XJ : × Ωj −→ × j∈J ′
j∈J
Ωj, ω ′ ↦→ ω ′� �J
die kanonische Projektion. Speziell schreiben wir XJ := X I J .
(14.1)
Definition 14.4 (Produkt-σ-Algebra). Seien (Ωi, Ai), i ∈ I, Messräume. Die
Produkt-σ-Algebra
A = �
i∈I
ist die kleinste σ- Algebra auf Ω, sodass für jedes i ∈ I die Abbildung Xi messbar
bezüglich A – Ai ist:
Ai
A = σ � Xi, i∈ I � := σ � X −1
i (Ai), i∈ I � .
Ist (Ωi, Ai) =(Ω0, A0) für jedes i ∈ I, so schreiben wir auch A = A ⊗I
0 .
Für J ⊂ I schreiben wir ΩJ = × Ωj und AJ =
j∈J
�
Aj.
j∈J
Bemerkung 14.5. Die Begriffsbildung der Produkt-σ-Algebra ist analog zu der der
Produkttopologie: Sind((Ωi, τi),i ∈ I) topologische Räume, so ist die Produkttopologie
τ auf Ω = × Ωi die gröbste Topologie, bezüglich der alle Koordinaten-
i∈I
abbildungen Xi : Ω −→ Ωi stetig sind. ✸