Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

82 3 Erzeugendenfunktion
Satz 3.11 (Aussterbewahrscheinlichkeit des Galton-Watson-Prozesses).
Sei p1 �= 1.
(i) Es gilt {r ∈ [0, 1] : ψ(r) =r} = {q, 1}.
(ii) Es gelten die Äquivalenzen
q 1 ⇐⇒
∞�
kpk > 1.
Beweis. ψ ist strikt konvex und monoton wachsend und ψ(1) = 1. Istlim ψ
z↑1 ′ (z) ≤
1, soistψ(z) >zfür jedes z ∈ [0, 1). Istlim ψ
z↑1 ′ (z) > 1, so gibt es genau ein
r ∈ [0, 1) mit ψ(r) =r. Offenbar ist
q =0 ⇐⇒ p0 =0 ⇐⇒ ψ(0) = 0 ⇐⇒ ψ(z) 0 angenommen. Offenbar gilt
qn = ψn(0) = ψ(qn−1).
Wir wissen, dass qn ↑ q. Daψ stetig ist, gilt
k=1
ψ(q) =ψ( lim
n→∞ qn) = lim
n→∞ ψ(qn) = lim
n→∞ qn+1 = q.
Also ist q ein Fixpunkt von ψ, und wir müssen im Fall ψ ′ (1) > 1 noch ausschließen,
dass q =1ist. Ist r = ψ(r), soistr≥ ψ(0) = q0, also r = ψ(r) ≥ ψ(q0) =q1
und induktiv r ≥ qn für jedes n ∈ N0, also r ≥ q. Mithin ist q die kleinste Lösung
in [0, 1] von ψ(r) =r.
Die zweite Äquivalenz in (ii) folgt aus (3.2). ✷