Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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284 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz Beispiel 15.5 (nach [72]). Im vorangehenden Satz können wir nicht ohne Weiteres auf die Beschränktheit von X verzichten, selbst wenn alle Momente existieren (es gibt allerdings schwächere Bedingungen, siehe Korollar 15.32). Wir betrachten hierzu X := exp(Y ), wobei Y ∼N0,1. Die Verteilung von X heißt auch Log- Normalverteilung. Für jedes n ∈ N ist nY verteilt wie die Summe von n2 unabhängigen, standardnormalverteilten Zufallsvariablen nY D = Y1 + ...+ Yn2.Also ist für n ∈ N E[X n ]=E[e nY ]=E[e Y1+...+Yn2 n ]= 2 � E[e Yi ]=E[e Y ] n2 = i=1 �� ∞ (2π) −∞ −1/2 e y e −y2 � 2 n /2 dy = e n2 /2 . (15.1) Wir wollen nun gleich eine ganze Familie von Verteilungen konstruieren, die die gleichen Momente wie X besitzen. Nach der Transformationsformel für Dichten (Satz 1.101) hat die Verteilung von X die Dichte f(x) = 1 √ x 2π −1 � exp − 1 2 log(x)2 � für x>0. Für α ∈ [−1, 1] definieren wir Wahrscheinlichkeitsdichten fα auf (0, ∞) durch fα(x) =f(x) � 1+α sin(2π log(x)) � . Um zu zeigen, dass fα eine Dichte ist und die selben Momente wie f besitzt, reicht es zu zeigen, dass für jedes n ∈ N0 gilt m(n) := � ∞ 0 x n f(x) sin(2π log(x)) dx =0. Mit der Substitution y = log(x) − n erhalten wir (wegen sin(2π(y + n)) = sin(2πy)) m(n) = � ∞ −∞ e yn+n2 (2π) −1/2 e −(y+n)2 /2 sin(2π(y + n)) dy =(2π) −1/2 e n2 /2 � ∞ e −∞ −y2 /2 sin(2πy) dy =0, wobei die letzte Gleichheit folgt, weil der Integrand eine ungerade Funktion ist. ✸ Satz 15.6 (Laplace-Transformation). Ein endliches Maß μ auf [0, ∞) ist eindeutig bestimmt durch Angabe der Laplace-Transformierten � Lμ(λ) := e −λx μ(dx) für λ ≥ 0.
15.1 Trennende Funktionenklassen 285 Beweis. Dem Problem, dass der Raum [0, ∞) nicht kompakt ist, begegnen wir, indem wir zur (Einpunkt-) Kompaktifizierung E =[0, ∞] übergehen. Wir definieren für λ ≥ 0 die stetige Funktion fλ :[0, ∞] → [0, 1] durch fλ(x) =e −λx , falls x0. Wähle N ∈ N so groß, dass (1 + 2�f�∞) · (μ1 + μ2)(Rd \ [−N,N] d )
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
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20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
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28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
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32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
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36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
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38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
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40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
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44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
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48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
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50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
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52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
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54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
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56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
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58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
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60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
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62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
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64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
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66 2 Unabhängigkeit � � �
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68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
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70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
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72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
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74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
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76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
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78 3 Erzeugendenfunktion � � α
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80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
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82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
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84 4 Das Integral m� m� n� α
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86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
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88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
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90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
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92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
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94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
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96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
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98 5 Momente und Gesetze der Große
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100 5 Momente und Gesetze der Groß
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6 Konvergenzsätze Im starken und s
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
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Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
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6.3 Vertauschung von Integral und A
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7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
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7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
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7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
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7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
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Seite 169 und 170:
Seite 171 und 172:
V ′ := {F : V → R ist stetig un
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7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
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166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
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168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
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170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
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172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
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174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
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176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
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178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
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180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
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182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
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184 9 Martingale E = Z (mit der dis
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186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
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188 9 Martingale Definition 9.22. I
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190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
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192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
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194 9 Martingale vorhersagbar und l
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196 9 Martingale Wir wollen nun X a
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10 Optional Sampling Sätze Wir hab
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10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.2 Optional Sampling und Optional
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11 Martingalkonvergenzsätze und An
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E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
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und C = � a,b∈Q a
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
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11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
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12 Rückwärtsmartingale und Austau
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
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12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
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12.3 Satz von de Finetti 231 das he
Seite 241 und 242: 13 Konvergenz von Maßen In der Wah
Seite 243 und 244: 13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
Seite 245 und 246: 13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
Seite 247 und 248: 13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
Seite 249 und 250: 13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
Seite 257 und 258: 13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
Seite 259 und 260: 13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
Seite 261 und 262: 13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
Seite 263 und 264: 13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
Seite 265 und 266: 13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
Seite 267 und 268: 14 W-Maße auf Produkträumen Als M
Seite 269 und 270: 14.1 Produkträume 261 Definition 1
Seite 271 und 272: 14.2 Endliche Produkte und Übergan
Seite 281 und 282: 14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
Seite 283 und 284: 14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
Seite 285 und 286: 14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
Seite 287 und 288: 14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
Seite 289 und 290: 15 Charakteristische Funktion und Z
Seite 291: 15.1 Trennende Funktionenklassen 28
Seite 295 und 296: 15.1 Trennende Funktionenklassen 28
Seite 297 und 298: 15.2 Charakteristische Funktionen:
Seite 299 und 300: 15.2 Charakteristische Funktionen:
Seite 301 und 302: ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
Seite 303 und 304: 15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
Seite 305 und 306: 15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
Seite 307 und 308: 15.4 Charakteristische Funktion und
Seite 309 und 310: � � � �ϕ(t + h) − � n
Seite 311 und 312: 15.4 Charakteristische Funktion und
Seite 313 und 314: 15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
Seite 317 und 318: Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
Seite 321 und 322: 15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
Seite 323 und 324: 316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
Seite 339 und 340: 17 Markovketten Markovprozesse mit
Seite 341 und 342: 17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
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Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
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17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
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1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
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17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
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Seite 363 und 364:
Seite 365 und 366:
Seite 367 und 368:
17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
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17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
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18 Konvergenz von Markovketten Wir
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3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
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18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
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Seite 379 und 380:
Seite 381 und 382:
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
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Dabei ist die Varianz des einzelnen
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19 Markovketten und elektrische Net
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19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
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19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
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19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
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x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
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19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
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19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
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19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
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Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
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Schritt 1. Die Schleife am rechten
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Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
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Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
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19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
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20 Ergodentheorie Gesetze der groß
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20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
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20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
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Beweis. Setze Yn := � � � n
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
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21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
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21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
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21.1 Stetige Modifikationen 433 s
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21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
Seite 443 und 444:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
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21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 447 und 448:
21.3 Starke Markoveigenschaft 441
Seite 449 und 450:
21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
Seite 451 und 452:
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
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21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
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X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
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21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
Seite 459 und 460:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 463 und 464:
21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
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E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
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und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
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21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
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21.10 Quadratische Variation und lo
Seite 473 und 474:
Seite 475 und 476:
Seite 477 und 478:
Seite 479 und 480:
Seite 481 und 482:
Seite 483 und 484:
22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
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22.1 Iterierter Logarithmus für di
Seite 487 und 488:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490:
Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 493 und 494:
M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
Seite 495 und 496:
490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
Seite 497 und 498:
492 23 Große Abweichungen Beweis.
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494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
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496 23 Große Abweichungen Beweis.
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498 23 Große Abweichungen Übung 2
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500 23 Große Abweichungen Seien nu
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502 23 Große Abweichungen Analog i
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504 23 Große Abweichungen Untere S
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506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
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508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
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25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
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25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
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25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
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ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
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25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
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25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
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25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
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26 Stochastische Differentialgleich
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26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
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Die linke Seite in (26.6) ist aber
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und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
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1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
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26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
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Seite 575 und 576:
3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
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Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
Seite 585 und 586:
Literatur 581 123. Jim Pitman und M
Seite 587 und 588:
Notation A Indikatorfunktion der Me
Seite 589 und 590:
μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
Seite 591 und 592:
Glossar englischer Ausdrücke a.a.
Seite 593 und 594:
Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
Seite 599 und 600:
596 Sachregister -Itô-Formel - - m
Seite 601 und 602:
598 Sachregister Moran-Modell 343 d
Seite 603 und 604:
600 Sachregister - terminale 61, 22
Seite 605:
602 Sachregister Wählermodell 216
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