Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

394 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Sei nun A ⊂ E. Wir legen an den Punkten x0 ∈ A jeweils elektrische Spannungen
u(x0) an (zum Beispiel durch Anschluss einer oder mehrerer Batterien). Wie groß
ist dann die Spannung u(x) in x ∈ E \ A?
Definition 19.13. Eine Abbildung I : E × E → R heißt ein Fluss auf E \ A, falls
sie antisymmetrisch ist (I(x, y) =−I(y, x)) und das Kirchhoff’sche Gesetz erfüllt:
wobei
I(x) =0, für x ∈ E \ A,
I(A) =0,
I(x) := �
I(x, y) und I(A) := �
I(x).
y∈E
x∈A
(19.6)
Definition 19.14. Ein Fluss I : E × E → R auf E \ A heißt elektrischer Fluss,
falls es eine Funktion u : E → R gibt, bezüglich der das Ohm’sche Gesetz gilt:
I(x, y) =
u(x) − u(y)
R(x, y)
für alle x, y ∈ E, x �= y.
Wir nennen dann I(x, y) die Stromstärke von x nach y und u(x) die elektrische
Spannung in x.
Satz 19.15. Eine elektrische Spannung u in (E,C) ist harmonisch auf E \ A:
u(x) = � 1
C(x, y) u(y) für jedes x ∈ E \ A.
C(x)
y∈E
Speziell ist die elektrische Spannung durch Angabe der Werte auf A festgelegt,
wenn das Netzwerk irreduzibel ist.
Beweis. Nach dem Ohm’schen und dem Kirchhoff’schen Gesetz ist
u(x) − � C(x, y)
C(x, y)
1 �
u(y) =� (u(x) − u(y)) = I(x, y) =0.
C(x) C(x) C(x)
y∈E
y∈E
y∈E
Nach dem Eindeutigkeitssatz für harmonische Funktionen (Satz 19.7) ist u hierdurch
und durch die Werte auf A eindeutig festgelegt. ✷
Korollar 19.16. Sei X eine Markovkette auf E mit Kantengewichten C. Dann ist
u(x) =Ex[u(XτA )].
Betrachte A = {x0,x1}, x0 �= x1, und u(x0) =0, u(x1) =1.DannistI(x1) der
gesamte Stromfluss in das Netzwerk und −I(x0) der gesamte Stromfluss aus dem
Netzwerk. Das Kirchhoff’sche Gesetz besagt, dass der Stromfluss divergenzfrei ist,