Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1
3
∞�
k=0
19.5 Netzwerkreduktion 405
� �k 2
=1< ∞. Für diesen Baum ist die Irrfahrt
3
transient, nach Satz 19.30 also auch für Z 3 . ✸
Beispiel 19.32. Die symmetrische einfache Irrfahrt auf Z d , d ≥ 3, ist transient. Dies
gilt nach Satz 19.30, weil wir Z 3 als Teilgraphen von Z d auffassen können und hier
die Irrfahrt transient ist. ✸
19.5 Netzwerkreduktion
Beispiel 19.33. Wir betrachten die Irrfahrt auf dem Graphen aus Abb. 19.7, die in x
startet und an jedem Punkt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu einem der Nachbarpunkte
springt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit P trifft die Kette den Punkt 1 bevor
sie den Punkt 0 trifft? Wir können den Graphen als elektrisches Netzwerk auffassen
0
x
1
Abb. 19.7. Ausgangssituation
mit gleichem Widerstand (etwa 1) an jeder Kante, Spannung 0 in 0 und Spannung
1 in 1. Wenn wir die beiden effektiven Widerstände Reff(0 ↔ x) und Reff(x ↔ 1)
kennen, erhalten wir als Spannung
P = u(x) =
Reff(0 ↔ x)
. (19.11)
Reff(0 ↔ x)+Reff(x ↔ 1)
Um die effektiven Widerstände auszurechnen, wollen wir das Netzwerk schrittweise
vereinfachen, bis nur noch zwei Kanten übrig sind: von 0 nach x und von x nach 1.
Die erforderlichen Schritte werden im Folgenden vorgestellt und dann im Beispiel
angewandt. ✸