Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

160 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
�
νa(A) := fdμ, νs(A) :=ν(A) − νa(A).
A
Nach Konstruktion ist nun νa ≪ μ ein endliches Maß mit Dichte f bezüglich μ.
Wegen f ∈Gist νs(A) =ν(A) − �
fdμ≥ 0 für jedes A ∈A, also ist auch νs
A
ein endliches Maß. Es bleibt zu zeigen, dass νs ⊥ μ.
An dieser Stelle benutzen wir Lemma 7.46. Wir nehmen an, dass νs �⊥ μ gälte.
Dann gäbe es ein ε>0 und ein A ∈Amit μ(A) > 0 so, dass εμ(E) ≤ νs(E) für
jedes E ⊂ A, E ∈A.Für B ∈Awäre dann
�
�
(f + ε A) dμ = fdμ+ εμ(A ∩ B)
B
B
≤ νa(B)+νs(A ∩ B) ≤ νa(B)+νs(B) = ν(B).
Mit anderen Worten: (f + ε A) ∈Gund damit � (f + ε A) dμ = γ + εμ(A) >γ,
was im Widerspruch zur Definition von γ steht. Also ist tatsächlich νs ⊥ μ. ✷
Übung 7.5.1. Sei μ ein σ-endliches Maß auf (Ω,A) und ϕ ein signiertes Maß auf
(Ω,A). Man zeige, dass, analog zum Satz von Radon-Nikodym, die beiden folgenden
Aussagen äquivalent sind:
(i) Für jedes A ∈Amit μ(A) =0ist ϕ(A) =0.
(ii) Es gibt ein f ∈L1 (μ) mit ϕ = fμ, also �
fdμ= ϕ(A) für jedes A ∈A. ♣
Übung 7.5.2. Seien μ, ν, α endliche Maße auf (Ω,A) mit ν ≪ μ ≪ α.
(i) Zeige, dass die Kettenregel für die Radon-Nikodym-Ableitung gilt:
dν
dα
= dν
dμ
dμ
dα
A
α-f.ü.
(ii) Zeige, dass f := dν
dν f
d(μ+ν) existiert und dass μ-f.ü. dμ = 1−f gilt. ♣
7.6 Ergänzung: Dualräume
Nach dem Darstellungssatz von Riesz-Fréchet (Satz 7.26) hat jede stetige Linearform
F : L 2 (μ) → R eine Darstellung F (g) =〈f,g〉 für ein f ∈ L 2 (μ). Andererseits
ist für jedes f ∈ L 2 (μ) die Abbildung L 2 (μ) → R, g ↦→ 〈f,g〉 stetig und
linear. Daher ist L 2 (μ) in kanonischer Weise isomorph zu seinem topologischen
Dualraum (L 2 (μ)) ′ . Dieser ist allgemein wie folgt definiert.
Definition 7.47 (Dualraum). Sei (V,� · �) ein Banachraum. Der Dualraum V ′ von
V ist definiert durch