Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen 537
Wir betrachten im Folgenden Prozesse, die sich als Itô-Integral bezüglich einer
Brown’schen Bewegung schreiben lassen, und geben für diese Prozesse einen detaillierteren
Beweis von Satz 25.21 an.
Definition 25.23. Sei W eine Brown’sche Bewegung und σ und b progressiv
messbare stochastische Prozesse mit � t
0 σ2 s +|bs| ds < ∞ fast sicher für alle t ≥ 0.
Dann nennen wir den Prozess X mit
� t
Xt =
0
σs dWs +
� t
0
bs ds für t ≥ 0
einen verallgemeinerten Diffusionsprozess (oder kurz: verallgemeinerte Diffusion)
mit Diffusionskoeffiezenten σ und Drift b.
Haben σ und b speziell die Gestalt σs =˜σ(Xs) und bs = ˜b(Xs) für gewisse
Abbildungen ˜σ : R → [0, ∞) und ˜b : R → R,sonennenwirX eine Diffusion (im
engeren Sinne).
Im Gegensatz zu verallgemeinerten Diffusionen sind Diffusionen im engeren Sinne
unter gewissen Regularitätsannahmen an die Koeffizienten stets Markovprozesse,
wie wir noch sehen werden (vergleiche Satz 26.8, 26.10 und 26.26).
Eine Diffusion X hat stets die Gestalt X = M + A, wobei Mt = � t
0 σs dWs
ein stetiges lokales Martingal mit quadratischer Variation 〈M〉t = � t
0 σ2 s ds ist
(nach Korollar 25.19) und At = � t
0 bs ds ein stetiger Prozess von lokal endlicher
Variation.
Offenbar ist für H aus (25.6)
� t
0
Hs dMs =
=
n�
� �
hi−1 Mti∧t − Mti−1∧t
i=1
n�
� ti∧t
hi−1
� t
σs dWs =
i=1 ti−1∧t
0
Für progressiv messbares H mit � T
T ≥ 0 definieren wir daher das Itô-Integral
� t
0
Hs dMs :=
0 H2 s d〈M〉s = � T
� t
0
(Hsσs) dWs.
(Hs σs) dWs.
0 (Hsσs) 2 ds < ∞ für alle
Wir erhalten ohne Weiteres, speziell ohne auf Satz 25.21 zurückzugreifen, den folgenden
Satz.
Satz 25.24. Sei X = M + A eine verallgemeinerte Diffusion mit σ und b wie in
Definition 25.23 und H progressiv messbar mit