Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 373
� � �
P (x,y) Xn �= Yn = Px−y
˜Xk �= ˜ Yk für alle k ≤ n � n→∞
−→ 0.
Wir behandeln jetzt den allgemeinen Fall d ∈ N, indem wir die einzelnen Koordinaten
nacheinander koppeln. Um dies rigoros zu machen, müssen wir etwas
Notationsaufwand treiben. Für x = (x 1 ,...,x d ) und k = 1,...,d − 1 sei
ˆx k =(x 1 ,...,x k ) und ˇx k =(x k+1 ,...,x d ). Wir setzen pk(x, ˆy k )=pk(ˆx k , ˆy k )=
�
ˇy k ∈Z d−k p(x, y), sowiepk(x, (ˇy k | ˆy k )) = p(x, y)/p(x, ˆy k ). Diese Schreibweise
soll suggerieren, dass es sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, von x
nach y zu springen, gegeben, dass wir schon wissen, dass die ersten k Koordinaten
des Ziels durch ˆy k gegeben sind.
Wir setzen noch formal ˆx 0 = ˇxd = 0, ˆx d = ˇx0 = x, p0(x, ˆy 0 ) = 1 und
p0(x, (ˇy 0 | ˆy 0 )) = p(x, y) sowie l(x) :=max � k ∈{0,...,d} : ˆxk =0 � .Sei
jetzt für L ∈ N die Matrix ˇpL,k definiert durch
� k k
ˇpL,k ˇx , ˇy � =
� � � � � � k k k k k k k
pk 0, (ˇz − ˇx | ˆz ) pk 0, (ˇz − ˇy | ˆz ) pk 0, ˆz � ,
z∈Z d
�ˇz k −ˇx k �∞≤L
�ˇz k −ˇy k �∞≤L
falls ˇx k �=ˇy k und ˇpL,k(ˇx k , ˇx k )=1− �
ˇy k �=ˇx k
ˇpL,k(ˇx k , ˇy k ).
Wir nehmen an, dass L groß genug gewählt ist, dass alle ˇpL,k irreduzibel sind. Setze
nun noch
�
(x1,y1), (x2,y2) � =
˜pL,k
⎧
⎪⎨
⎪⎩
�
k p(x1,x2) pk ˆy 1 , (ˇy k 2 | ˆy k 2 ) � , falls ˆy k 1 − ˆy k 2 =ˆx k 1 − ˆx k 2
und �ˇy k 1 − ˇy k 2�∞ ≤ L, �ˇx k 1 − ˇx k 2�∞ ≤ L,
p(x1,x2), falls y2 − y1 = x2 − x1
und �ˇx k 1 − ˇx k ∞�2 >L,
0, sonst.
Schließlich definieren wir die Übergangsmatrix q von (X, Y ) durch
q � (x1,y1), (x2,y2) � �
=˜p L,l(y1−x1) (x1,y1), (x2,y2) � .
Die Zahl l(Xn − Yn) gibt an, wie viele Koordinaten schon gekoppelt sind. Sind
schon genau k Koordinaten gekoppelt, so wird ˜pL,k als Übergangsmatrix genommen.
Unter dieser Matrix bleiben die ersten k Koordinaten gekoppelt. Sei τk :=
inf{n ∈ N0 : l(Xn − Yn) =k}. Zwischen τk und τk+1 ist ( ˇ Y k n − ˇ X k n)n∈N eine
Irrfahrt mit Übergangsmatrix ˇpL,k, also symmetrisch, irreduzibel und mit endlicher
Sprungweite. Damit ist jede einzelne Koordinate eine rekurrente Irrfahrt und insbesondere
τk+1 < ∞ fast sicher. Es folgt, dass für alle x, y ∈ Z d gilt
P (x,y)[Xn �= Yn] =P (x,y)[τd >n] n→∞
−→ 0. ✷