Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.2 Mengenfunktionen 15
Bemerkung 1.32. In (iv) kann strikte Ungleichheit herrschen (siehe etwa Beispiel
1.30(iii)). Mit anderen Worten: Es gibt Inhalte, die keine Prämaße sind. ✸
Satz 1.33 (Einschluss- Ausschlussformel). Sei A ein Ring und μ ein Inhalt. Dann
gelten für n ∈ N und A1,...,An ∈Adie Einschluss- Ausschlussformeln
μ(A1 ∪ ...∪ An) =
μ(A1 ∩ ...∩ An) =
n�
(−1) k−1
k=1
n�
(−1) k−1
k=1
�
{i1,...,ik}⊂{1,...,n}
�
{i1,...,ik}⊂{1,...,n}
μ(Ai1 ∩ ...∩ Aik ),
μ(Ai1 ∪ ...∪ Aik ),
wobei sich die Summen über alle k-elementigen Teilmengen von {1,...,n} erstrecken.
Beweis. Übung! Hinweis: Man verwende vollständige Induktion über n. ✷
Wir wollen die σ-Subadditivität durch eine Stetigkeitseigenschaft charakterisieren
(Satz 1.36). Hierzu verabreden wir die folgende Sprechweise und Notation.
Definition 1.34. Sind A, A1,A2,...Mengen, so schreiben wir
– An ↑ A, falls A1 ⊂ A2 ⊂ ... und �∞ n=1 An = A,
– An ↓ A, falls A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... und �∞ n=1 An = A.
Wir sagen dann, dass (An)n∈N gegen A aufsteigt beziehungsweise absteigt.
Definition 1.35 (Stetigkeit von Inhalten). Sei μ ein Inhalt auf dem Ring A.
(i) μ heißt stetig von unten, falls für jedes A ∈Aund jede Folge (An)n∈N in A
mit An ↑ A gilt: μ(An) n→∞
−→ μ(A).
(ii) μ heißt stetig von oben, falls für jedes A ∈Aund jede Folge (An)n∈N in A
mit An ↓ A sowie μ(An) < ∞ für jedes n ∈ N gilt: μ(An) n→∞
−→ μ(A).
(iii) μ heißt ∅-stetig, falls (ii) für A = ∅ gilt.
Bei der Stetigkeit von oben wurde die Endlichkeitsbedingung eingeführt, weil sogar
für das Zählmaß μ auf (N, 2 N ) und An := {n, n+1,...}↓∅sonst keine Gleichheit
gelten kann.