Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

544 25 Das Itô-Integral
Beweis. Das geht wie im eindimensionalen Fall. Die Details verbleiben zur Übung.
✷
Korollar 25.31 (Produktregel). Sind X, Y, X − Y,X + Y ∈CqV, so gilt
XT YT = X0Y0 +
� T
0
Ys dXs +
� T
0
Xs dYs + 〈X, Y 〉T für alle T ≥ 0.
Beweis. Nach Voraussetzung (und der Polarisationsformel) existiert 〈X, Y 〉. Nach
Satz 25.30 mit F (x, y) =xy folgt die Aussage. ✷
Sei nun Y = M + A eine d-dimensionale verallgemeinerte Diffusion, also
M k t =
d�
l=1
� t
0
σ k,l
s dW l s und A k t =
� t
b
0
k s ds für t ≥ 0, k=1,...,d.
Dabei ist W =(W 1 ,...,W d ) eine d-dimensionale Brown’sche Bewegung und
σ k,l (beziehungsweise b k ) sind progressiv messbare, lokal quadratisch integrierbare
(beziehungsweise lokal integrierbare) stochastische Prozesse für k, l =1,...,d.
Wegen 〈W k ,W l 〉t = t · {k=l} ist 〈Y k ,Y l 〉t = 〈M k ,M l 〉t = � t
0 ak,l
s ds, wobei
a k,l
s :=
d�
i=1
σ k,i
s σ i,l
s
die Kovarianzmatrix der Diffusion M ist. Speziell ist M ∈Cd qV fast sicher. Wir
erhalten als Korollar zur mehrdimensionalen pfadweisen Itô-Formel:
Satz 25.32 (Mehrdimensionale Itô-Formel). Sei Y wie oben und F ∈ C 2 (R d ).
Dann gilt
F (YT ) − F (Y0) =
=
� T
0
d�
k,l=1
+ 1
2
∇F (Ys) dYs + 1
2
� t
0
d�
k,l=1
σ k,l
s ∂kF (Ys) dW l s +
� t
Speziell gilt für die Brown’sche Bewegung
F (Wt) − F (W0) =
d�
k=1
0
� t
0
d�
� T
∂k∂lF (Ys) d〈M
k,l=1
0
k ,M l 〉s
a k,l
s ∂k∂lF (Ys) ds.
∂kF (Ws) dW k s + 1
2
d�
� t
b
k=1
0
k s ∂kF (Ys) ds
� t
0
(25.16)
△ F (Ws) ds. (25.17)