Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

344 17 Markovketten
Auch hier ist X wieder ein beschränktes Martingal, und wir können den quadratischen
Variationsprozess ausrechnen:
n−1 �
〈X〉n = E � (Xi − Xi−1) 2 � �
�
2
Xi−1 =
N 2
n−1 �
Xi(1 − Xi). (17.12)
✸
i=0
Übung 17.2.1 (Diskretes Martingalproblem). Sei E ⊂ R höchstens abzählbar
und X eine Markovkette auf E mit Übergangsmatrix p und der Eigenschaft, dass es
für jedes x eine höchstens dreielementige Menge Ax ⊂ E gibt mit p(x, y) =0für
jedes y ∈ E \ Ax.Seid(x) := �
y∈E (y − x) p(x, y) für x ∈ E.
(i) Man zeige: Durch Mn := Xn − �n−1 k=0 d(Xk) wird ein Martingal M definiert
mit quadratischem Variationsprozess 〈M〉n = �n−1 i=0 f(Xi) für eine eindeutig
bestimmte Funktion f : E → [0, ∞).
(ii) Man zeige: Die Übergangsmatrix p ist durch Angabe von f und d eindeutig
bestimmt.
(iii) Man berechne für das Moran-Modell (Beispiel 17.22) die Übergangsmatrix
aus der expliziten Form (17.12) des quadratischen Variationsprozesses. ♣
i=0
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit
Sei E abzählbar und (Xt) t∈[0,∞) ein Markovprozess auf E mit Übergangswahrscheinlichkeiten
pt(x, y) =Px[Xt = y] (für x, y ∈ E). (Manche Autoren nennen
solch einen Prozess auch Markovkette in stetiger Zeit.)
Sind x, y ∈ E mit x �= y, sosagenwir,dassXmit Rate q(x, y) von x nach y
springt, falls der folgende Limes existiert
q(x, y) := lim
t↓0
1
t Px[Xt = y].
Wir nehmen nun an, dass q(x, y) für alle y �= x existiert, und dass
�
q(x, y) < ∞ für jedes x ∈ E (17.13)
gilt. Wir setzen dann
y�=x
Mit dieser Festsetzung gilt
lim
t↓0
q(x, x) =− �
q(x, y). (17.14)
y�=x
1�
�
Px [Xt = y] − {x=y} = q(x, y) für alle x, y ∈ E. (17.15)
t