Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 371
Diese Definition der Kopplung von Markovketten ist in gewisser Weise sehr restriktiv,
weil sie die Markoveigenschaft auch wieder für den gekoppelten Prozess fordert.
Für die Anwendungen, die wir im Sinne haben, reicht dies aber völlig aus.
Natürlich sind zwei unabhängig laufende Ketten eine Kopplung, allerdings vielleicht
nicht die interessanteste.
Beispiel 18.11 (Unabhängiges Verschmelzen). Die wichtigste Kopplung sind die
verschmelzenden Markovketten: Wir lassen X und Y unabhängig voneinander mit
Übergangsmatrix p laufen, so lange bis sie sich das erste Mal treffen. Danach laufen
die Ketten gemeinsam weiter. Diese Kopplung nennen wir unabhängiges Verschmelzen,
sie hat die Übergangsmatrix
¯p � (x1,y1), (x2,y2) � ⎧
⎪⎨ p(x1,x2) · p(y1,y2), falls x1 �= y1,
=
p(x1,x2), falls x1 = y1, x2 = y2,
⎪⎩
0, falls x1 = y1, x2�= y2.
Mit τ := inf{n ∈ N0 : Xn = Yn} bezeichnen wir den Verschmelzungszeitpunkt.
Wir können die Kopplung tatsächlich aus zwei unabhängigen Ketten ˜ X und ˜ Y herstellen,
indem wir X := ˜ X setzen, ˜τ := inf{n ∈ N0 : ˜ Xn = ˜ Yn} und
�
˜Yn, falls n