Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

76 3 Erzeugendenfunktion
(ii) Die Verteilung PX von X ist durch ψX eindeutig charakterisiert.
(iii) ψX ist durch die Angabe von abzählbar vielen Werten ψX(xi), xi ∈ [0, 1],
i ∈ N, eindeutig festgelegt. Konvergiert die Reihe in (3.1) auch für ein z>1,
so gilt
lim X (z) =ψ(n)
X (1) < ∞ für n ∈ N,
z↑1 ψ (n)
und ψX ist durch Angabe von ψ (n)
X (1), n ∈ N, eindeutig charakterisiert.
Beweis. Das folgt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen. ✷
Satz 3.3 (Multiplikativität der Erzeugendenfunktion). Sind X1,...,Xn unabhängig
und N0-wertig, so ist
n�
ψX1+...+Xn =
i=1
ψXi .
Beweis. Für z ∈ [0, 1) können wir ψX1 (z) ψX2 (z) als Cauchy-Produkt schreiben
�
∞�
ψX1 (z) ψX2 (z) = P[X1 = n] z n
��
∞�
P[X2 = n] z n
�
=
=
=
n=0
n=0
∞�
z n
�
n�
�
P[X1 = m] P[X2 = n − m]
n=0
∞�
z n
n=0
∞�
n=0
m=0
n�
P[X1 = m, X2 = n − m]
m=0
P[X1 + X2 = n] z n = ψX1+X2 (z).
Induktiv folgt die Aussage für jedes n ≥ 2. ✷
Beispiel 3.4. (i) Sei Xbn,p-verteilt für gewisse n ∈ N und p ∈ [0, 1]. Dannist
ψX(z) =
n�
m=0
� �
n
p
m
m (1 − p) n−m z m = � pz +(1−p) �n . (3.3)
(ii) Sind X, Y unabhängig und bm,p beziehungsweise bn,p-verteilt, so ist nach
Satz 3.3
ψX+Y (z) = � pz +(1−p) �m � �n pz +(1−p) � �m+n. = pz +(1−p) Also ist nach Satz 3.2(ii) X + Ybm+n,p-verteilt und damit (nach Satz 2.31)