Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

19.4 Rekurrenz und Transienz 403
– in der n-ten Stufe eine der Richtungen x, y oder z wählen und 2 n+1 Schritte in
diese Richtung gehen.
Wir bezeichnen etwa mit xyyxxxxzzzzzzzz ... den Pfad, der zunächst die x-
Richtung, dann y, dannx, dannz und so fort gewählt hat. Zwei Pfade benutzen
offenbar nach dem Zeitpunkt, wo sich ihre Wege trennen, keine gemeinsamen Kanten
mehr. Allerdings werden manche Knoten von mehreren Pfaden getroffen.
x
y
z
zx
xx
xy
xz
zy
yx
yy
yz
zz
zzz
xxx
xzz
xyy
yxx
yyy
yzz
zyy
zxx
Abb. 19.5. Schema der ersten drei Schritte des Graphen von Beispiel 19.31. Links sind die
tatsächlichen Kanten eingezeichnet, wobei beispielsweise xyy bedeutet, dass zunächst in
Schritt in x-Richtung gemacht wurde, dann einer in y-Richtung und jetzt die weiterführende
Kante in y-Richtung betrachtet wird. Rechts sind die Knoten an den Enden von xz/zx,
xy/yx und yz/zy jeweils in zwei Knoten aufgelöst und mit einem ” Supraleiter“ (fette
Linien) verbunden. Wenn wir die Supraleiter entfernen, so erhalten wir das Netzwerk aus
Abb. 19.6, dessen effektiver Widerstand R ′ eff(0 ↔∞) nicht kleiner ist als derjenige in Z 3 .
(Wird an die Wurzel die Spannung 1 und an den rechten Punkten jeweils die Spannung 0
angelegt, so fließt aus Symmetriegründen durch die Supraleiter kein Strom. Das Netzwerk
hier ist also sogar äquivalent zu dem in Abb. 19.6.)
Wenn wir das elektrische Netzwerk mit Einheitswiderständen und Spannung 1 im
Ursprung sowie Spannung 0 an allen Punkten von Pfaden nach der n-ten Stufe betrachten,
so hängt aus Symmetriegründen die Spannung an jedem Knoten des Netzwerks
nur vom Abstand (kürzester Weg entlang Pfaden) zum Ursprung ab. Wir erhalten
also ein äquivalentes Netzwerk, wenn wir mehrfach benutzte Knoten durch
entsprechend mehrere Knoten ersetzen (siehe Abb. 19.5). So erhalten wir ein Netzwerk,
das eine Baumstruktur hat: jeweils nach 2 n Schritten verzweigt jeder Pfad in
x
y
z
xx
xy
zy
zx
yx
yz
xz
yy
zz
xxx
xzz
xyy
yxx
yyy
yzz
zyy
zzz
zxx