Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

386 18 Konvergenz von Markovketten
wobei m(μ) = � pN(x) μ(dx) ist, und die Wahrscheinlichkeit pN (x), dass die in x
gestartete Kette N trifft, gegeben ist durch
⎧
⎪⎨
1 −
pN (x) =
⎪⎩
� �
1−r x
r
1 − � � , falls r �=
1−r N
r
1
2 ,
x
1
, falls r =
N 2 .
Wie schnell geht nun die Konvergenz in (18.15)? Auch hier ist die Konvergenz
exponentiell schnell, und die Rate wird wieder durch den zweitgrößten Eigenwert
von p bestimmt.
Wir wollen nun also das Spektrum von p bestimmen. Klar sind x0 =(1, 0,...,0)
und xN =(0,...,0, 1) Links-Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Damit nun x =
(x0,...,xN ) ein Links-Eigenvektor zum Eigenwert λ ist, müssen die folgenden
Gleichungen erfüllt sein:
und
λxk = rxk−1 +(1− r)xk+1 für k =2,...,N − 2, (18.16)
λxN−1 = rxN−2. (18.17)
Gelten (18.16) und (18.17) für x1,...,xN−1, so setzen wir x0 := 1−p
λ−1 x1 und
xN := p
λ−1 xN−1 und erhalten dadurch tatsächlich xp = λx. Wir machen den
Ansatz
wobei
λ =(1− r)ρ(θ + θ) und xk = ϱ k (θ k − θ k ) für k =1,...,N − 1,
ρ = � r/(1 − r) und θ ∈ C \{−1, +1} mit |θ| =1.
Es gilt also θθ =1und (1 − r)ρ k+1 = rρ k−1 . Daher ist für jedes k =2,...,N− 1
λxk =(1− r) ρ k+1 (θ k − θ k )(θ + θ)
=(1− r) ρ k+1� (θ k+1 − θ k+1 )+θθ (θ k−1 − θ k−1 ) �
= rρ k−1 (θ k−1 − θ k−1 )+(1− r) ρ k+1 (θ k+1 − θ k+1 )
= rxk−1 +(1− r) xk+1,
das heißt, es gilt (18.16). Die selbe Rechnung mit k = N − 1 zeigt, dass (18.17)
genau dann gilt, wenn θ N −θ N =0ist, also wenn θ 2N =1gilt. Wir erhalten also für
θ die N − 1 unterschiedlichen Werte (man beachte, dass die komplex konjugierten
der hier angegeben Werte zu den selben λn führen)
θn = e (n/N)πi
Die zugehörigen Eigenwerte sind
�
nπ
�
λn = σ cos
N
für n =1,...,N − 1.
für n =1,...,N − 1.