Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.4 Messbare Abbildungen 37
Beispiel 1.86. Sei d(x, y) =�x − y�2 der gewöhnliche euklidische Abstand auf Rn und B(Rn ,d)=B(Rn ) die Borel’sche σ-Algebra zu der von d erzeugten Topologie.
Für jede Teilmenge A von Rn ist dann B(A, d) =B(Rn ,d) � � . ✸
A
Wir wollen die reellen Zahlen um die Punkte −∞ und +∞ erweitern und definieren
R := R ∪{−∞, +∞}.
Topologisch wollen wir R als die so genannte Zweipunktkompaktifizierung ansehen,
indem wir R als topologisch isomorph zu [−1, 1] betrachten, beispielsweise
vermöge der Abbildung
⎧
⎪⎨ tan(πx/2), falls x ∈ (−1, 1),
ϕ :[−1, 1] → R, x ↦→
⎪⎩
−∞,
∞,
falls x = −1,
falls x =+1.
In der Tat wird durch ¯ d(x, y) = � �ϕ −1 (x)−ϕ −1 (y) � � für x, y ∈ R eine Metrik auf R
definiert, sodass ϕ und ϕ −1 stetig sind (also ist ϕ ein topologischer Isomorphismus).
Mit ¯τ bezeichnen wir die induzierte Topologie auf R, mit τ die gewöhnliche
Topologie auf R.
Korollar 1.87. Es gilt ¯τ � � R = τ, und daher gilt B(R) � � R = B(R).
Ist speziell X :(Ω,A) → (R, B(R)) messbar, so ist X in kanonischer Weise auch
eine R-wertige messbare Abbildung.
Mit R haben wir also eine echte Erweiterung der reellen Zahlen geschaffen, und die
Inklusion R ↩→ R ist messbar.
Satz 1.88 (Messbarkeit stetiger Abbildungen). Sind (Ω,τ) und (Ω ′ ,τ ′ ) topologische
Räume und f : Ω → Ω ′ stetig, dann ist f auch B(Ω) – B(Ω ′ )-messbar.
Beweis. Wegen B(Ω ′ )=σ(τ ′ ) reicht es nach Satz 1.81 zu zeigen, dass f −1 (A ′ ) ∈
σ(τ) für jedes A ′ ∈ τ ′ .Daf stetig ist, gilt aber sogar f −1 (A ′ ) ∈ τ für jedes
A ′ ∈ τ ′ . ✷
Für x, y ∈ R verabreden wir folgende Notationen
x ∨ y =max(x, y) (Maximum),
x ∧ y =min(x, y) (Minimum),
x + =max(x, 0) (Positivteil),
x − =max(−x, 0) (Negativteil),
|x| =max(x, −x) =x − + x + (Absolutbetrag),
sign(x) = {x>0} − {x