Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

504 23 Große Abweichungen
Untere Schranke Für jedes x ∈ E und r>0 ist
�
lim inf ε log
ε→0
e φ/ε �
dμε ≥ lim inf ε log
ε→0
Br(x)
e φ/ε dμε
≥ inf φ(Br(x)) − I(x) r→0
−→ φ(x) − I(x).
Obere Schranke Für M>0 und ε>0 definieren wir
�
�
F ε M :=
Wir setzen
e
{φ≥M}
φ(x)/ε με(dx) und G ε M :=
FM := lim sup
ε→0
{φ0
�
lim ε log e
ε→0 φ(x)/ε με(dx) =FM ∨ GM .
Da nach Voraussetzung infM>0 FM = −∞ gilt, reicht es zu zeigen, dass
� �
sup GM ≤ sup φ(x) − I(x) . (23.20)
M>0
x∈E
Sei δ>0. Für jedes x ∈ I gibt es ein r(x) > 0 mit
inf I � B 2r(x)(x) � ≥ I(x) − δ und sup φ � B 2r(x)(x) � ≤ φ(x) − δ.
Sei a ≥ 0. DaI eine gute Ratenfunktion ist, ist die Niveaumenge K := I −1 ([0,a])
kompakt. Wir finden also endlich viele Punkte x1,...,xN ∈ I −1 ([0,a]), sodass
� N
i=1 B r(xi)(xi) ⊃ K. Es gilt daher
G ε M ≤
�
{φ