Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

528 25 Das Itô-Integral
R := �
n∈N
hn Xn
(25.1)
wohldefiniert? Ist �
n∈N |hn| < ∞, so konvergiert die Reihe für jedes ω absolut.
In diesem Falle tritt kein Problem auf. Wie steht es aber, wenn nur die schwächere
Summierbarkeitsbedingung �
n∈N h2n < ∞ gilt? In diesem Falle konvergiert die
Reihe in (25.1) nicht mehr für jedes ω, allerdings gilt E[hn Xn] =0für jedes
n ∈ N und �∞ n=1 Var[hn Xn] = �∞ n=1 h2n < ∞. AlsoistRN := �N k=1 hk Xk,
n ∈ N, konvergent im L2-Sinne (für N →∞). Wir können daher die Reihe R in
(25.1) als L2-Limes der Partialsummen RN definieren. Dabei ist zu beachten, dass
(zumindest formal) bei den approximierenden Summen die Reihenfolge der Summanden
eine Rolle spielt. Wir haben also gewissermaßen �∞ �
n=1 anstatt n∈N
konstruiert.
Eine äquivalente Betrachtung, die allerdings einen leicht anderen Geschmack hat
und von der formalen Beschreibung her auf das Kommende hinweist, ist die folgende.
Mit ℓ2 bezeichnen wir den Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen reeller
Zahlen mit Skalarprodukt 〈h, g〉 = �∞ n=1 hn gn und Norm �g� = 〈g, g〉 1/2 .Sei
ℓf der Unterraum der Folgen, die nur endlich viele Glieder ungleich Null haben.
Dann ist R(h) = �
n∈N hn Xn für h ∈ ℓf wohldefiniert (als endliche Summe).
Wegen
E � R(h) 2� = Var[R(h)] = �
Var � � �
hn Xn = h 2 n = �h� 2
n∈N
ist die Abbildung R : ℓf →L2 (P) eine Isometrie. Da ℓf ⊂ ℓ2 dicht liegt, können
wir R stetig auf ℓ2 fortsetzen. Ist also h ∈ ℓ2 und (hN )N∈N eine Folge in ℓf mit �hN − h� N→∞
−→ 0, soistR(hN ) N→∞
−→ R(h) im L2-Sinne. Speziell ist
h N n := hn {n≤N}, n ∈ N, N ∈ N, eine approximierende Folge für h, und es gilt
R(h N )= � N
n=1 hn Xn. Daher ist die oben beschriebene Approximation von R
mit den Partialsummen RN als Spezialfall in dieser Konstruktion enthalten. ✸
Das Programm für die Konstruktion des Itô-Integrals I W t (H) sieht nun so aus:
Zunächst betrachten wir elementare Integranden H, für die die Abbildung t ↦→
Ht(ω) eine Treppenfunktion ist, sodass das Integral als endliche Summe definiert
werden kann. Danach erweitern wir das Integral wie in Beispiel 25.1 auf Integranden,
die sich in einem gewissen L 2 -Sinne durch elementare Integranden approximieren
lassen.
Definition 25.2. Wir bezeichnen mit E den Vektorraum der Abbildungen H : Ω ×
[0, ∞) → R von der Form
n�
Ht(ω) = hi−1(ω) (ti−1,ti],
i=1
wobei n ∈ N, 0=t0