Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling 207
Übung 10.2.2. Wir betrachten hier eine allgemeinere Situation als im vorangehenden
Beispiel, indem wir nur noch annehmen, dass Y1,Y2,... u.i.v. integrierbare
Zufallsvariablen sind, die nicht fast sicher konstant sind (und Xn = Y1 + ...+ Yn).
Weiter nehmen wir an, dass es ein δ > 0 gibt mit E[exp(θY1)] < ∞ für jedes
θ ∈ (−δ, δ). Wirdefinieren eine Abbildung ψ : (−δ, δ) → R durch θ ↦→
log � E[exp(θY1)] � und setzen Z θ n := exp(θXn − nψ(θ)) für n ∈ N0. Man zeige:
(i) Für jedes θ ∈ (−δ, δ) ist Zθ ist ein Martingal.
(ii) ψ ist strikt konvex.
(iii) E �� Zθ � n→∞
n −→ 0 für θ �= 0.
(iv) Z θ n
n→∞
−→ 0 fast sicher.
Interpretieren wir Yn als die Differenz zwischen Prämieneinnahmen und Schadensauszahlungen
einer Versicherungsgesellschaft zur Zeit n,sogibtk0+Xn den Kontostand
der Versicherung zur Zeit n wieder, wenn das Anfangskapital k0 > 0 beträgt.
Wir interessieren uns für die Ruinwahrscheinlichkeit
p(k0) =P � inf{Xn + k0 : n ∈ N0} < 0 �
in Abhängigkeit vom Startkapital.
Man kann davon ausgehen, dass die Prämien so kalkuliert sind, dass E[Y1] > 0.
Man zeige: Falls die Gleichung ψ(θ) =0eine Lösung θ∗ �=0hat, so ist θ∗ < 0.
Man zeige, dass in diesem Fall die Cramér-Lundberg’sche Ungleichung gilt:
p(k0) ≤ exp(θ ∗ k0). (10.8)
In dem Fall, wo Yi nur die Werte −1 und 1 annimmt und k0 ∈ N ist, gilt Gleichheit,
und wir erhalten Gleichung (10.6) mit r =exp(θ ∗ ). ♣
10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling
Wir wollen jetzt das Optional Sampling Theorem auf unbeschränkte Stoppzeiten
ausweiten. Dies geht, falls das zugrunde liegende Martingal gleichgradig integrierbar
ist (vergleiche Definition 6.16).
Lemma 10.20. Sei X ein gleichgradig integrierbares Martingal. Dann ist die Familie
(Xτ : τ ist endliche Stoppzeit) gleichgradig integrierbar.
Beweis. Nach Satz 6.19) eine monoton wachsende, konvexe Funktion f :[0, ∞) →
[0, ∞) mit lim infx→∞ f(x)/x = ∞ und L := supn∈N0 E[f(|Xn|)] < ∞. Ist
τ