Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

44 1 Grundlagen der Maßtheorie
so heißt PX =: bn,p die Binomialverteilung mit Parametern n und p. Formal ist
bn,p =
n�
k=0
(iii) Ist p ∈ (0, 1] und X : Ω → N0 mit
P[X = n] =p (1 − p) n
� �
n
p
k
k (1 − p) n−k δk.
für jedes n ∈ N0,
so heißt γp := b − 1,p := PX die geometrische Verteilung 1 mit Parameter p. Formal
können wir schreiben:
Die Verteilungsfunktion ist
γp =
n=0
∞�
p (1 − p) n δn.
F (x) =1− (1 − p) ⌊x⌋∨0
für x ∈ R.
Wir können X +1als die Wartezeit auf den ersten Erfolg bei unabhängigen“
”
Zufallsexperimenten auffassen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg
führen. In der Tat: Sei Ω = {0, 1} N und P das Produktmaß � �⊗N (1 − p)δ0 + pδ1
(Satz 1.64), sowie A = σ([ω1,...,ωn] : ω1,...,ωn ∈{0, 1}, n∈ N). Wir setzen
X(ω) :=inf{n ∈ N : ωn =1}−1,
mit der Konvention inf ∅ = ∞. Offenbar ist jede der Abbildungen
Xn : Ω → R,
�
n − 1,
ω ↦→
∞,
falls ωn =1,
falls ωn =0,
A – B(R)-messbar und X = infn∈N Xn. AlsoistX auch A – B(R)-messbar,
also eine Zufallsvariable. Sei ω 0 := (0, 0,...) ∈ Ω. DannistP[X ≥ n] =
P[[ω 0 1,...,ω 0 n]] = (1 − p) n .Alsoist
P[X = n] =P[X ≥ n] − P[X ≥ n +1]=(1− p) n − (1 − p) n+1 = p (1 − p) n .
(iv) Seien r>0 (nicht notwendigerweise ganzzahlig) und p ∈ (0, 1]. Mit
b − r,p :=
∞�
k=0
� �
−r
(−1)
k
k p r (1 − p) k δk
(1.17)
bezeichnen wir die negative Binomialverteilung oder Pascal-Verteilung mit Parametern
r und p. (Hierbei ist � � x x(x−1)···(x−k+1)
k = für x ∈ R und k ∈ N der
1
Obacht: Manche Autoren nennen die um Eins verschobene Verteilung auf N die geometrische
Verteilung.
k!