Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
Beispiel 7.38. Die Endlichkeitsannahme ist für die Umkehrung im vorigen Satz essenziell.
Sei beispielsweise μ = N0,1 die Standardnormalverteilung auf R und ν
das Lebesgue-Maß auf R. Dann hat ν bezüglich μ die Dichte f(x) = √ 2πex2 /2 .
Speziell gilt ν ≪ μ. Andererseits gilt μ([n, ∞)) n→∞
−→ 0 und ν([n, ∞)) = ∞ für
jedes n ∈ N. Mithin ist ν nicht totalstetig bezüglich μ. ✸
Beispiel 7.39. Sei (Ω,A) ein Messraum, und seien μ und ν endliche Maße auf
(Ω,A). MitZbezeichnen wir die Menge der endlichen Zerlegungen von Ω in disjunkte,
messbare Mengen. Das heißt, Z ∈Zist eine endliche Teilmenge von A so,
dass die Mengen C ∈ Z paarweise disjunkt sind und �
C∈Z C = Ω für jedes Z.
Für Z ∈Zdefinieren wir eine Funktion fZ : Ω → R durch
fZ(ω) =
�
C∈Z: μ(C)>0
ν(C)
μ(C) C(ω).
Wir zeigen, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:
(i) Die Familie (fZ : Z ∈ Z) ist gleichgradig integrierbar in L 1 (μ) und
� fZ dμ = ν(Ω) für jedes Z ∈Z.
(ii) Es gilt ν ≪ μ.
(iii) ν ist totalstetig bezüglich μ.
Die Äquivalenz von (ii) und (iii) wurde im vorigen Satz bewiesen. Gilt (ii), so ist
für jedes Z ∈Z �
fZ dμ =
�
ν(C) =ν(Ω),
C∈Z: μ(C)>0
weil ν(C) =0ist für diejenigen C, die in der Summe nicht auftauchen. Sei nun
ε>0 gegeben. Da aus (iii) aus (ii) folgt, gibt es ein δ ′ > 0, sodass ν(A)