Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

M ′ n := sup |Bs − Btn−1
s∈[tn−1,tn+2]
|.
Dann ist (nach der Dreiecksungleichung) für t ∈ [tn,tn+1]
Mt ≤ 2M ′ n.
22.3 Satz von Hartman-Wintner 487
Setze δ := (1 + ε) 3 − 1. Dannisttn+2 − tn−1 = δtn−1. Brown’sche Skalierung
und das Spiegelungsprinzip (Satz 21.19) ergeben nun
�
P M ′ n > � �
3δtn−1 log log tn−1
�
= P sup |Bs| >
s∈[0,1]
� �
3loglogtn−1
�
≤ 2 P sup Bs > � �
3loglogtn−1
s∈[0,1]
�
=4P B1 > � �
3loglogtn−1
�
2
≤ � exp −
3loglogtn−1
3
�
log log tn−1
2
≤ n −3/2
für n hinreichend groß.
(Lemma 22.2)
Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich also über n summieren, und das Lemma von
Borel-Cantelli liefert
lim sup
t→∞
Mt
√ t log log t ≤ lim sup
n→∞
2M ′ n
� tn−1 log log tn−1
≤ 2 √ 3δ.
Lassen wir nun ε → 0 gehen, so geht δ =(1+ε) 3 − 1 → 0, und der Beweis ist
vollständig. ✷