Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

206 10 Optional Sampling Sätze
einer der beiden Spieler ruiniert ist. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass A
zum Spielbeginn kA ∈ N Geldeinheiten hat, B hingegen kB = N − kA, wobei
N ∈ N, N ≥ kA. Gesucht ist die Ruinwahrscheinlichkeit von B. In Beispiel 10.16
haben wir für den Fall einer fairen Münze bereits ausgerechnet, dass die Ruinwahrscheinlichkeit
kA/N ist. Nun wollen wir den Fall einer unfairen Münze betrachten.
Seien also Y1,Y2,... unabhängig und P[Yi =1]=1− P[Yi = −1] = p für alle
i ∈ N und für gewisses p ∈ (0, 1) \{ 1
2 }.MitXn := kB + �n i=1 Yi bezeichnen
wir den Kontostand von B nach n Runden, wobei wir formal annehmen, dass die
Spiele weiter gehen, auch wenn ein Spieler bereits ruiniert ist. Wir definieren noch
wie oben τ0, τN und τ0,N als die ersten Eintreffzeiten von X in 0, N beziehungs-
weise {0,N}. Die Ruinwahrscheinlichkeit von B ist nun p N B := P[τ0,N = τ0].
Da X kein Martingal ist (außer im Falle p = 1
2 , den wir hier ausschließen wollen),
behelfen wir uns mit einem Trick: Wir definieren einen neuen Prozess Z durch
Zn := rXn = rkB �n i=1 rYi , wobei wir r>0 noch geeignet wählen müssen, sodass
Z ein Martingal wird. Nach Beispiel 9.31 ist dies genau dann der Fall, wenn
E[rY1 ]=pr +(1− p)r−1 =1ist, also wenn r =1oder r = 1−p
p ist. Offenbar
ist die Wahl r = 1 nutzlos, also nehmen wir r = 1−p
p an. Wir erhalten so
τ0 =inf{n ∈ N0 : Zn =1} und τN =inf{n ∈ N0 : Zn = rN }.
(Man beachte, dass wir hier nicht wie oben argumentieren können, um zu zeigen,
dass τ0 < ∞ und τN < ∞ fast sicher gilt. In der Tat ist für p �= 1
2 auch stets
nur genau eine der beiden Aussagen richtig. Allerdings erhält man, beispielsweise
durch das starke Gesetz der großen Zahl, dass lim infn→∞ Xn = ∞ (und damit
τN < ∞) fast sicher, falls p> 1
2 . Analog ist τ0 < ∞ fast sicher, falls p< 1
2 .)
Wie in Beispiel 10.16 liefert der Optional Stopping Satz r kB = Z0 = E[Zτ0,N ]=
p N B +(1− pN B )rN , also ist die Ruinwahrscheinlichkeit von B
p N B = rkB − rN . (10.5)
1 − rN Ist das Spiel vorteilhaft für B, also p> 1
2 ,soistr