Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit 133
Korollar 6.22. Ist (Xi)i∈I eine Familie von Zufallsvariablen mit sup{|E[Xi]| : i ∈
I} < ∞ und sup{Var[Xi] : i ∈ I} < ∞, dann ist (Xi)i∈I gleichgradig integrierbar.
Beweis. Dies folgt aus Korollar 6.21 mit p =2,dennE[X 2 i ]=E[Xi] 2 + Var[Xi]
ist in i ∈ I beschränkt. ✷
Lemma 6.23. Es existiert eine Abbildung h ∈L 1 (μ) mit h>0 fast überall.
Beweis. Seien A1,A2,...,∈Amit An ↑ Ω und μ(An) < ∞ für n ∈ N. Setze
∞�
h = 2 −n� 1+μ(An)) −1 An .
n=1
Dann ist h>0 fast überall und � hdμ≤ ∞�
n=1
2−n μ(An)
1+μ(An) ≤ 1. ✷
Satz 6.24. Eine Familie F⊂L1 (μ) ist genau dann gleichgradig integrierbar, wenn
die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
�
(i) C := sup
f∈F
|f| dμ < ∞.
(ii) Es gibt eine Funktion 0 ≤ h ∈L1 (μ), sodass für jedes ε>0 ein δ(ε) > 0
existiert mit
�
�
sup
f∈F
|f| dμ ≤ ε für jedes A ∈A mit hdμ0 gibt es ein δ(ε) > 0, sodass
�
sup
f∈F
|f| dμ ≤ ε für jedes A ∈A mit μ(A) 0
fast überall. Sei ε>0 und �g ε/3 eine ε/3–Schranke für F (wie in (6.5)). Wegen
� �gε/3 ≥ αh � ↓∅für α →∞, gilt für hinreichend großes α = α(ε)
�
�g ε/3≥αh
�g ε/3 dμ < ε
3 .
Mit δ(ε) := ε
�
3α(ε) gilt dann für jedes A ∈Amit hdμ