Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Bei vielen Datenerhebungen, etwa Telefonumfragen, ist die Reihenfolge, in der die
Daten kommen, unerheblich. Mathematisch sprechen wir von austauschbaren Zufallsvariablen,
wenn sich die gemeinsame Verteilung unter endlichen Vertauschungen
nicht ändert. Der Struktursatz für austauschbare Zufallsvariablen von de Finetti
besagt, dass sich eine unendlich große austauschbare Familie von Zufallsvariablen
mit Werten im Raum E als Zweistufenexperiment beschreiben lässt: In der ersten
Stufe wird eine zufällige Wahrscheinlichkeitsverteilung Ξ auf E ausgewürfelt. In
der zweiten Stufe werden die Zufallsvariablen u.i.v. mit Verteilung Ξ realisiert.
Wir definieren zunächst den Begriff der Austauschbarkeit. Danach betrachten wir
Rückwärtsmartingale und zeigen den Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale.
Dieser ist der Eckstein für den Beweis des Satzes von de Finetti.
12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen
Definition 12.1. Sei I eine beliebige Indexmenge und E ein polnischer Raum. Eine
Familie (Xi)i∈I von Zufallsvariablen mit Werten in E heißt austauschbar, falls für
jede endliche Permutation ϱ : I → I gilt, dass
L
��Xϱ(i) �
i∈I
�
= L � �
(Xi) i∈I .
Als endliche Permutation bezeichnen wir dabei eine Bijektion ϱ : I → I, die alle
bis auf endlich viele Koordinaten unverändert lässt.
Bemerkung 12.2. Offenbar sind äquivalent:
(i) (Xi)i∈I ist austauschbar.
(ii) Für n ∈ N und paarweise unterschiedliche i1,...,in ∈ I sowie paarweise
unterschiedliche j1,...,jn ∈ I gilt L[(Xi1 ,...,Xin )] = L[(Xj1 ,...,Xjn )].
Insbesondere sind austauschbare Zufallsvariablen stets identisch verteilt (dies ist (ii)
mit n =1). ✸