Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

434 21 Die Brown’sche Bewegung
rn−1 = s, rm = t und rl+1 − rl ≤ 2 −(l+1) für l = n − 1,...,m.
Also ist nach (21.7)
|Xt(ω) − Xs(ω)| ≤
m−1 �
l=n−1
�
� Xrl+1 (ω) − Xrl (ω)� � ≤
m�
l=n
2 −γl ≤ 2−γn
. (21.8)
1 − 2−γ Setze nun C0 =2 γ (1 − 2 −γ ) −1 < ∞. Seien s, t ∈ D mit |s − t| ≤2 −n0 . Indem
wir n ≥ n0 minimal wählen mit |t − s| ≥2 −n , erhalten wir aus (21.8)
|Xt(ω) − Xs(ω)| ≤C0 |t − s| γ . (21.9)
Wie im Beweis von Lemma 21.3(iii) folgt hieraus, dass (mit K := C02 (n+1)(1−γ) )
|Xt(ω) − Xs(ω)| ≤K |t − s| γ
für alle s, t ∈ D. (21.10)
Mit anderen Worten: Auf den binärrationalen Zahlen D ist X(ω) (global) Hölderγ-stetig.
Speziell ist X auf D gleichmäßig stetig, lässt sich also eindeutig stetig auf
[0, 1] fortsetzen: Für t ∈ D setze � Xt := Xt.Für t ∈ [0, 1]\D und {sn, n∈ N} ⊂D
mit sn −→ t ist (Xsn (ω)) n∈N eine Cauchy-Folge. Also existiert der Limes
�Xt(ω) := lim
D∋s→t Xs(ω), (21.11)
und es gilt dann die zu (21.10) analoge Aussage auch für beliebige s, t ∈ [0, 1]
�
�
� � Xt(ω) − � �
�
Xs(ω) � ≤ K |t − s| γ
für alle s, t ∈ [0, 1]. (21.12)
Also ist � X lokal Hölder-stetig von der Ordnung γ. Nach (21.5) und (21.11) gilt
P � Xt �= � �
Xt =0für jedes t ∈ [0, 1]. AlsoistX� eine Modifikation von X.
Um (ii) zu zeigen, sei ε>0, und sei n ∈ N so groß gewählt, dass (siehe (21.6))
P[Bn] ≤ C 2−(β−αγ)n
0 sowie jedes T>0 und gewisses C