Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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2.4 Beispiel: Perkolation 69 Es reicht also, den Fall d =2zu betrachten. Hier zeigen wir pc ≤ 2 3 . Wir geben ein Konturargument an, das von Peierls für ein Magnetismusmodell (das Ising Modell, siehe Beispiel 18.21 und speziell (18.13)) entwickelt wurde (siehe [119]). Für N ∈ N schreiben wir (vergleiche (2.11) mit x =(i, 0)) CN := N� C p� (i, 0) � i=0 für die Menge der Punkte, die eine offene Verbindung in die Menge {0,...,N}× {0} haben. Dann ist wegen der Subadditivität der Wahrscheinlichkeit (und wegen P[#C p� (i, 0) � = ∞] =θ(p) für jedes i ∈ Z) θ(p) = 1 N +1 N� P � #C p� (i, 0) � = ∞ � ≥ i=0 1 N +1 P� #CN = ∞ � . Wir betrachten nun Konturen im dualen Graphen ( ˜ Z 2 , ˜ K), dieCN umschließen, falls #CN < ∞. Der duale Graph ist dabei definiert durch ˜Z 2 � 1 1 � = , + Z 2 2 2 , � ˜K = {x, y} : x, y ∈ ˜ Z 2 � , �x − y�2 =1 . Eine Kante ˜ k im dualen Graphen ( ˜ Z2 , ˜ K) kreuzt also genau eine Kante k in (Z2 ,K). Wir nennen ˜ k offen, falls k offen ist, und sonst geschlossen. Ein Kreis γ ist ein selbstüberschneidungsfreier Pfad in ( ˜ Z2 , ˜ K), bei dem Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen. Eine Kontur der Menge CN ist ein minimaler Kreis, der CN umschließt. Minimal heißt dabei, dass die umschlossene Fläche minimal ist (siehe Abb. 2.2). Für n ≥ 2N sei � � Γn = γ : γ ist ein Kreis der Länge n und umschließt {0,...,N}×{0} . Wir wollen eine obere Abschätzung für #Γn angeben. Dafür wählen wir für γ ∈ Γn � einen Punkt � aus γ willkürlich als Startpunkt aus, nämlich den oberen Punkt 1 1 m + 2 , 2 des rechtesten x-Achsendurchgangs von γ (in Abb. 2.2 ist dies der Punkt � 5+ 1 � 1 2 , 2 ). Offenbar ist m ≥ N und m ≤ n weil der Ursprung von Γn umschlossen wird. Ausgehend von � m + 1 � 1 2 , 2 gibt es für jede weitere Kante von γ jeweils höchstens drei Möglichkeiten. Also ist #Γn ≤ n · 3 n . Der Kreis γ heißt geschlossen, wenn er nur (in ˜ K) geschlossene Kanten benutzt. Eine Kontur von CN muss automatisch geschlossen sein und eine Länge größer als 2N haben. Daher gilt für p> 2 3
70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ❜ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ❜ ❜ ❜ ❜ ♣ � � � � � � � ❜ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣❜ ❜ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣❜ ♣ � � � � � � � ❜ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ❜ ❜ ❜ ❜ ♣ ❜ � � � � � � � ❜ ❜ � � � � � � � ❜ ❜ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣❜ ♣ � � � � � � � ❜ ❜ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣❜ ♣ ❜ � � � � � � � ❜ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣❜ ❜ ❜ � � � � � � � ♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ❜ ❜ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � −1 0 1 5 P[#CN < ∞] = ≤ Abb. 2.2. Kontur des Clusters C5 ∞� n=2N ∞� n=2N P � � es gibt einen geschlossenen Kreis γ ∈ Γn n · � 3(1 − p) � n N→∞ −→ 0. Es folgt pc ≤ 2 3 . ✷ Im Allgemeinen ist der Wert von pc nicht bekannt und extrem schwer zu bestimmen. Im Fall der Kantenperkolation in Z 2 ist allerdings ein genaues Ergebnis bekannt, da man hier das starke Hilfsmittel der Selbstdualität des Graphen (Z 2 ,K) zur Verfügung hat. (Ist G =(V,K) ein planarer Graph, also einer, den man mit überschneidungsfreien Kanten in den R 2 einbetten kann, so hat der duale Graph als Punktmenge die Menge der Flächen von G und als Kante zwischen zwei solchen Punkten, diejenige Kante aus K, die die beiden Flächenstücke trennt. Offenbar ist das zweidimensionale Gitter als Graph isomorph zu seinem dualen Graphen. Man beachte, dass man die Kontur in Abb. 2.2 als geschlossenen Pfad im dualen Graphen auffassen kann.) Wir zitieren hier den Satz von Kesten [93]. Satz 2.46 (Kesten (1980)). Für Kantenperkolation in Z 2 ist die kritische Wahrscheinlichkeit pc = 1 2 , und es gilt θ(pc) =0. Beweis. Siehe etwa das Buch von Grimmett [62, Seite 287ff]. ✷
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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14 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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Seite 51 und 52: 40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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Seite 59 und 60: 48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
Seite 61 und 62: 50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
Seite 63 und 64: 52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
Seite 65 und 66: 54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
Seite 67 und 68: 56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
Seite 69 und 70: 58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
Seite 71 und 72: 60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
Seite 73 und 74: 62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
Seite 75 und 76: 64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
Seite 77 und 78: 66 2 Unabhängigkeit � � �
Seite 79: 68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
Seite 83 und 84: 72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
Seite 85 und 86: 74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
Seite 87 und 88: 76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
Seite 89 und 90: 78 3 Erzeugendenfunktion � � α
Seite 91 und 92: 80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
Seite 93 und 94: 82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
Seite 95 und 96: 84 4 Das Integral m� m� n� α
Seite 97 und 98: 86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
Seite 99 und 100: 88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
Seite 101 und 102: 90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
Seite 103 und 104: 92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
Seite 105 und 106: 94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
Seite 107 und 108: 96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
Seite 109 und 110: 98 5 Momente und Gesetze der Große
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120 5 Momente und Gesetze der Groß
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122 5 Momente und Gesetze der Groß
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6 Konvergenzsätze Im starken und s
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
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Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
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6.3 Vertauschung von Integral und A
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7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
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7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
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7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
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7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
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V ′ := {F : V → R ist stetig un
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7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
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166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
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168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
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170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
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172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
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174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
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176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
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178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
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180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
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182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
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184 9 Martingale E = Z (mit der dis
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186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
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188 9 Martingale Definition 9.22. I
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190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
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192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
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194 9 Martingale vorhersagbar und l
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196 9 Martingale Wir wollen nun X a
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10 Optional Sampling Sätze Wir hab
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10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.2 Optional Sampling und Optional
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11 Martingalkonvergenzsätze und An
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E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
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und C = � a,b∈Q a
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
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11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
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12 Rückwärtsmartingale und Austau
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
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12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
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12.3 Satz von de Finetti 231 das he
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13 Konvergenz von Maßen In der Wah
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13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
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13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
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13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
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13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
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13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
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13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
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13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
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13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
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13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
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14 W-Maße auf Produkträumen Als M
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14.1 Produkträume 261 Definition 1
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14.2 Endliche Produkte und Übergan
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
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15 Charakteristische Funktion und Z
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15.1 Trennende Funktionenklassen 28
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.4 Charakteristische Funktion und
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� � � �ϕ(t + h) − � n
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15.4 Charakteristische Funktion und
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15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
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Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
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15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
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316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
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17 Markovketten Markovprozesse mit
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
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Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
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17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
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1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
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17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
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17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
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17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
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18 Konvergenz von Markovketten Wir
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3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
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18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
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Dabei ist die Varianz des einzelnen
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19 Markovketten und elektrische Net
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19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
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19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
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19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
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x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
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19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
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19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
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19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
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Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
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Schritt 1. Die Schleife am rechten
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Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
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Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
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19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
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20 Ergodentheorie Gesetze der groß
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20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
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20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
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Beweis. Setze Yn := � � � n
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
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21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
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21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
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21.1 Stetige Modifikationen 433 s
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21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
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21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
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21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
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21.3 Starke Markoveigenschaft 441
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21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
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21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
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21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
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X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
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21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
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21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
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21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
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21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
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E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
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und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
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21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
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21.10 Quadratische Variation und lo
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22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
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22.1 Iterierter Logarithmus für di
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22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
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Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
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22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
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M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
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490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
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492 23 Große Abweichungen Beweis.
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494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
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496 23 Große Abweichungen Beweis.
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498 23 Große Abweichungen Übung 2
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500 23 Große Abweichungen Seien nu
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502 23 Große Abweichungen Analog i
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504 23 Große Abweichungen Untere S
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506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
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508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
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25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
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25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
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25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
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ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
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25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
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25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
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25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
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26 Stochastische Differentialgleich
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26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
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Die linke Seite in (26.6) ist aber
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und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
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1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
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26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
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3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
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Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
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Literatur 581 123. Jim Pitman und M
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Notation A Indikatorfunktion der Me
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μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
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Glossar englischer Ausdrücke a.a.
Seite 593 und 594:
Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
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596 Sachregister -Itô-Formel - - m
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598 Sachregister Moran-Modell 343 d
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600 Sachregister - terminale 61, 22
Seite 605:
602 Sachregister Wählermodell 216
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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