Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
Beweis. Nach Lemma 15.36 und dem Lévy’schen Stetigkeitssatz (Satz 15.23) konvergiert
PS ∗ n gegen die Verteilung mit charakteristischer Funktion ϕ(t) =e−t2 /2 .
Nach Satz 15.12(i) ist dies N0,1. Der Zusatz folgt mit dem Portemanteau Theorem
(Satz 13.16), weil N0,1 eine Dichte hat, also N0,1(∂[a, b]) = 0 gilt. ✷
Bemerkung 15.38. Man kann ohne Benutzung des Stetigkeitssatzes auch so argumentieren:
Für jedes K>0 und n ∈ N ist P[|S∗ n| >K] ≤ Var[S ∗ n]/K2 =1/K2 ,
also ist die Folge PS∗ straff. Da die charakteristischen Funktionen verteilungsbe-
n
stimmend sind, folgt die Aussage mit Satz 13.34. ✸
Wir wollen uns nun von der Annahme von Satz 15.37 lösen, dass die Zufallsvariablen
identisch verteilt sind. Tatsächlich können wir sogar Partialsummen bilden, die
jeweils ganz unterschiedliche zentrierte Zufallsvariablen aufsummieren. Entscheidend
ist, dass die Varianz der normierten Summe 1 ist, und dass jeder einzelne
Summanden nur einen kleinen Beitrag liefert.
Definition 15.39. Für jedes n ∈ N sei kn ∈ N und seien Xn,1,...,Xn,kn reelle
Zufallsvariablen. Wir nennen (Xn,l) = � Xn,l, l=1,...,kn, n∈ N � ein Schema
von Zufallsvariablen. Wirdefinieren stets Sn = Xn,1 + ...+ Xn,kn als die
Zeilensumme. Das Schema heißt
– unabhängig, falls für jedes n ∈ N die Familie (Xn,l)l=1,...,kn unabhängig ist,
– zentriert, falls Xn,l ∈L1 (P) und E[Xn,l] =0ist für jedes n und l,
– normiert, falls Xn,l ∈L2 (P) und kn�
Var[Xn,l] =1ist für jedes n ∈ N.
l=1
Ein zentriertes Schema heißt asymptotisch vernachlässigbar, falls für jedes ε>0
lim
n→∞ max P[|Xn,l| >ε]=0.
1≤l≤kn
Definition 15.40. Ein zentriertes Schema (Xn,l) mit Xn,l ∈L 2 (P) für jedes n ∈ N
und l =1,...,kn erfüllt die Lindeberg-Bedingung, falls für jedes ε>0 gilt, dass
Ln(ε) :=
1
Var[Sn]
kn�
l=1
�
E X 2 n,l {X2 n,l >ε2 �
n→∞
Var[Sn]}
−→ 0. (15.6)
Das Schema erfüllt die Lyapunov-Bedingung, falls für ein δ>0 gilt
1
lim
n→∞ Var[Sn] 1+(δ/2)
kn�
E � |Xn,l| 2+δ� =0. (15.7)
Lemma 15.41. Die Lyapunov-Bedingung impliziert die Lindeberg-Bedingung.
l=1