Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

464 21 Die Brown’sche Bewegung
Satz 21.50. Es gilt Lx[ ˜ Z n ] n→∞
−→
fdd
Lx[Y ].
Beweis. Wie in (21.43) erhalten wir für 0 ≤ t1 ≤ t2 und λ1,λ2 ≥ 0, sowiex≥0 lim
n→∞ Ex
�
e −(λ1 ˜ Z n
t +λ2 1 ˜ Z n
t ) 2 �
= lim
n→∞ Ex
� �
Ex e −λ2 ˜ Z n �
� t2 � ˜ Z n �
t1 e −λ1 ˜ Z n �
t1 = lim
n→∞ Ex
� �
λ2
exp −
λ2(t2 − t1)+1 ˜ Z n t1
⎛ �
� ⎞
λ2
λ2(t2−t1)+1 + λ1 x
=exp⎝−�
� ⎠
λ2
λ2(t2−t1)+1 + λ1
�
= Ex exp(−(λ1Yt1 + λ2Yt2 ))� .
t1 +1
�
e −λ1 ˜ Z n
�
t1 Wir erhalten also
�
Lx λ1 ˜ Z n t1 + λ2 ˜ Z n � n→∞ � �
t2 −→ Lx λ1Yt1 + λ2Yt2 .
Nach der Cramér-Wold Device (Satz 15.55) folgt hieraus
��
Lx
˜Z n
t1 , ˜ Z n �� n→∞ ��
t2 −→ Lx Yt1 ,Yt2
��
.
Wir können dieses Vorgehen jetzt iterieren und erhalten so für jedes k ∈ N und
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ...≤ tk
�� � �
Lx
˜Z n n→∞ �� � �
ti −→ Lx Yti .
i=1,...,k
i=1,...,k
Dies ist aber die Behauptung. ✷
Wir zeigen nun, dass die Konvergenz sogar im Pfadraum gilt. Hierzu müssen wir
den reskalierten Prozess noch stetig machen. Wir nehmen an, dass (Zn)i∈N0 i , n ∈ N
eine Folge von Galton-Watson-Prozessen ist, mit Zn 0 = ⌊nx⌋. Wirdefinieren die
linearen Interpolationen
¯Z n t := � t − n −1 � �
⌊tn⌋ Z n ⌊tn⌋+1 − Zn �
⌊tn⌋ + 1
n Zn ⌊tn⌋ .
Satz 21.51 (Lindvall (1972)). Die reskalierten Galton-Watson-Prozesse ¯ Z n konvergieren
für n →∞gegen die Feller’sche Diffusion Y im Sinne der schwachen
Konvergenz in M1(C([0, ∞))):
Lx[ ¯ Z n ] n→∞
−→ Lx[Y ].
Beweis. Die Konvergenz der endlichdimensionalen Verteilungen ist schon gezeigt.
Nach Satz 21.38 reicht es, die Straffheit von (Lx[ ¯ Z n ],n∈ N) in M1(C([0, ∞)))