Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz 143
Beweis. (i) Sei x ∈ I ◦ . Wir nehmen an, dass lim infn→∞ ϕ(x−1/n) ≤ ϕ(x)−ε
für ein ε>0 gilt. Da ϕ konvex ist, gilt
ϕ(y) ≥ ϕ(x)+n(y − x)(ϕ(x) − ϕ(x − 1/n)) für jedes y>x und n ∈ N.
Zusammen mit der obigen Annahme folgt ϕ(y) = ∞ für jedes y > x. Mithin
war die Annahme falsch. Die analoge Überlegung für die rechte Seite liefert die
Stetigkeit von ϕ in x.
(ii) Die Monotonie folgt aus der Konvexität. Die anderen Aussagen sind klar.
(iii) Aufgrund der Monotonie von gx gilt D−ϕ(x) ≤ D + ϕ(x). Per Konstruktion
ist ϕ(x)+(y − x)t ≤ ϕ(y) für alle yxgenau dann, wenn t ≤ D + ϕ(x) ist.
(iv) Für ε>0 ist aufgrund der Konvexität x ↦→ gx(x + ε) monoton wachsend
und nach (i) stetig. Als Infimum monotoner, stetiger Funktionen ist x ↦→ D + ϕ(x)
monoton wachsend und rechtsstetig. Analog folgt die Aussage für D−ϕ.Dax ↦→
gx(y) monoton ist, folgt D + ϕ(x ′ ) ≥ D−ϕ(x ′ ) ≥ D + ϕ(x) für x ′ >x.IstD + ϕ
stetig in x,soistD−ϕ(x) =D + ϕ(x).
(v) Dies ist klar, da D−ϕ und D + ϕ die Limiten der linksseitigen und rechtsseitigen
Sekantensteigungsfolgen sind.
(vi) Für ε>0 sei Aε = {x ∈ I : D + ϕ(x) ≥ ε + limy↑x D + ϕ(y)} die Menge
der Unstetigkeitsstellen der Höhe mindestens ε. Für je zwei Punkte a, b ∈ I mit
a