Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 311
Nachdem wir (iii) schon gezeigt haben, folgt mit Übung 7.1.1, dass � ∞
n=1 (Yn −
E[Yn]) fast sicher konvergiert. Wegen (15.9) folgt (ii). ✷
Als Ergänzung bringen wir ohne Beweis eine Abschätzung für die Konvergenzgeschwindigkeit
im Zentralen Grenzwertsatz (siehe beispielsweise [145, Kapitel III,
§11] für einen Beweis), die mit anderen Konstanten (statt 0.8) unabhängig von Berry
[13] und Esseen [45] gefunden wurde.
Satz 15.51 (Berry-Esseen). Seien X1,X2,... unabhängig und identisch verteilt
mit E[X1] =0, E[X2 1 ]=σ2 ∈ (0, ∞) und γ := E[|X1| 3 ] < ∞. Seien S∗ n :=
√ 1
nσ2 (X1 + ···+ Xn) und Φ : x ↦→ 1
� x
√
2π −∞ e−t2 /2dt die Verteilungsfunktion
der Standardnormalverteilung. Dann gilt für jedes n ∈ N
�
sup �P [S
x∈R
∗ n ≤ x] − Φ(x) � �
0.8 γ
≤
σ3√n .
Übung 15.5.1. Die Argumentation aus Bemerkung 15.38 ist etwas direkter als die
Argumentation mit dem Lévy’schen Stetigkeitssatz, allerdings etwas weniger robust:
Man gebe eine Folge X1,X2,...von unabhängigen, reellen Zufallsvariablen
an mit E[|Xn|] =∞ für jedes n ∈ N, aber mit
X1 + ...+ Xn
√ n
n→∞
=⇒ N0,1. ♣
Übung 15.5.2. Seien Y1,Y2,... u.i.v. mit E[Yi] =0und E[Y 2
i ]=1. Davon unabhängig
seien Z1,Z2,...unabhängige Zufallsvariablen mit
P[Zi = i] =P[Zi = −i] = 1�
1 − P[Zi =0]
2
� = 1 1
.
2 i2 Setze Xi := Yi + Zi und Sn = X1 + ...+ Xn für i, n ∈ N.
Man zeige: n −1/2 Sn
n→∞
=⇒ N0,1, aber (Xi)i∈N erfüllt keine Lindeberg-Bedingung.
Hinweis: Möglichst nicht direkt ausrechnen! ♣
Übung 15.5.3. Seien X1,X2,...u.i.v. Zufallsvariablen mit Dichte
f(x) = 1
|x| 3 R\[−1,1](x).
Dann ist E[X 2 1 ]=∞, aber es gibt Zahlen A1,A2,..., sodass
X1 + ...+ Xn
An
n→∞
=⇒ N0,1.
Man gebe die Folge (An)n∈N explizit an. ♣