Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

400 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Beweis. Klar, weil
Ceff(x1 ↔∞)=C(x1)inf � �
pF (x1,A0) : |E \ A0| < ∞, x1�∈ A0 , (19.9)
und weil pF (x1,A0) monoton fallend in A0 ist. ✷
Satz 19.25. Es gilt
Speziell gilt
pF (x1) = 1
C(x1) Ceff(x1 ↔∞). (19.10)
x1 ist rekurrent ⇐⇒ Ceff(x1 ↔∞)=0 ⇐⇒ Reff(x1 ↔∞)=∞.
Beweis. Sei An 0 ↓∅eine absteigende Folge mit |E \ An 0 | < ∞ und x1 �∈ An 0 für
jedes n ∈ N. Setze Fn := � τAn 0 1. Der effektive Widerstand von 0 nach ∞ ist nach
dem Monotonieprinzip
Reff(0 ↔∞) = lim
n→∞ Reff(0 ↔{−n, n})
≤ lim
n→∞ Reff(0 ↔ n)
=
∞�
�
1 − p
n=0
p
� n
=
p
< ∞. ✸
2p − 1