Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.2 Mengenfunktionen 11
Übung 1.1.1. Sei A ein Semiring. Man zeige: Jede abzählbare (beziehungsweise
endliche) Vereinigung von Mengen aus A lässt sich als abzählbare (beziehungsweise
endliche), disjunkte Vereinigung von Mengen in A schreiben. ♣
Übung 1.1.2. Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass im die Allgemeinen die Vereinigung
A∪A ′ zweier σ-Algebren keine σ-Algebra ist. ♣
Übung 1.1.3. Seien (Ω1,d1) und (Ω2,d2) metrische Räume, f : Ω1 → Ω2 eine
beliebige Abbildung und Uf = � x ∈ Ω1 : f ist unstetig in x � die Menge der
Unstetigkeitsstellen. Man zeige: Uf ∈B(Ω1).
Hinweis: Man zeige zunächst, dass für ε>0 und δ>0 die Menge
U δ,ε
f := � x ∈ Ω1 : es gibt y, z ∈ Bε(x) mit d2(f(y),f(z)) >δ �
(wobei Bε(x) ={y ∈ Ω1 : d1(x, y)