Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

23.2 Prinzip der großen Abweichungen 495
Definition 23.6 (Ratenfunktion). Eine von unten halbstetige Funktion I : E →
[0, ∞] heißt Ratenfunktion. Sind alle Niveaumengen I −1 ([−∞,a]), a ∈ [0, ∞),
kompakt, so nennen wir I eine gute Ratenfunktion.
Definition 23.7 (Prinzip großer Abweichungen). Sei I eine Ratenfunktion und
(με)ε>0 eine Familie von W-Maßen auf E. Wir sagen, dass (με)ε>0 ein Prinzip
großer Abweichungen (kurz: LDP für Large Deviations Principle) mit Ratenfunktion
I erfüllt, falls
(LDP 1) lim inf ε log(με(U)) ≥−inf I(U)
ε→0
für jedes offene U ⊂ E,
(LDP 2) lim sup ε log(με(C)) ≤−inf I(C)
ε→0
für jedes abgeschlossene C ⊂ E.
Wir sagen, dass eine Familie (Pn)n∈N von W-Maßen auf E ein LDP mit Rate rn ↑
∞ und Ratenfunktion I erfüllt, falls (LDP 1) und (LDP 2) für die Folge εn =1/rn
und für μ 1/rn = Pn gelten.
Oftmals werden die Bedingungen (LDP 1) und (LDP 2) kurz untere Schranke und
obere Schranke genannt. In vielen Fällen ist die untere Schranke leichter zu zeigen
als die obere.
Bevor wir zeigen, dass der Satz von Cramér im Wesentlichen schon ein LDP ist,
bringen wir noch zwei mehr technische Aussagen.
Satz 23.8. Die Ratenfunktion in einem LDP ist eindeutig.
Beweis. Es erfülle (με)ε>0 das LDP mit Ratenfunktionen I und J. Dannistfür
jedes x ∈ E und δ>0
I(x) ≥ inf I(Bδ(x))
≥−lim inf
ε→0 ε log � με(Bδ(x)) �
�
Bδ(x) ��
≥−lim sup ε log
ε→0
� με
≥ inf I � Bδ(x) � δ→0
−→ J(x).
Es folgt I(x) ≥ J(x) und analog J(x) ≥ I(x). ✷
Lemma 23.9. Sei N ∈ N, und seien ai ε, i =1,...,N, ε>0, nichtnegative Zahlen.
Dann gilt
N�
lim sup ε log a
ε→0
i ε = max lim sup ε log(a
i=1,...,N ε→0
i ε).
i=1