Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

360 17 Markovketten
17.6 Invariante Verteilungen
Sei im Folgenden stets p eine stochastische Matrix auf dem diskreten Raum E sowie
(Xn)n∈N0 eine zugehörige Markovkette.
In diesem Abschnitt interessieren wir uns dafür, welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen
unter der Dynamik der Markovkette erhalten bleiben. Im Kapitel 18 werden
wir unter einfachen Bedingungen zeigen, wann die Verteilung einer Markovkette
für lange Zeiten gegen eine solche Verteilung konvergiert.
Definition 17.42. Ist μ ein Maß auf E und f : E → R eine Abbildung, so schreiben
wir μp({x}) = �
y∈E μ({y})p(y, x) und pf(x) =�y∈E
p(x, y)f(y), falls die
Summen konvergieren.
Definition 17.43. (i) Ein σ-endliches Maß μ auf E heißt invariantes Maß, falls
μp = μ.
μ heißt invariante Verteilung, falls zudem μ(E) =1gilt. Mit I bezeichnen
wir die Menge der invarianten Verteilungen.
(ii) Eine Funktion f : E → R heißt subharmonisch, falls pf existiert und f ≤ pf
gilt. f heißt superharmonisch, falls f ≥ pf gilt und harmonisch, falls f = pf.
Bemerkung 17.44. Im Sinne der linearen Algebra ist ein invariantes Maß ein Links-
Eigenvektor von p und eine harmonische Funktion ein Rechts-Eigenvektor, jeweils
zum Eigenwert 1. ✸
Lemma 17.45. Ist f beschränkt und (sub-, super-) harmonisch, so ist (f(Xn)) n∈N0
ein (Sub-, Super-) Martingal bezüglich der erzeugten Filtration F = σ(X).
Beweis. Sei f beschränkt und subharmonisch. Dann ist
Ex[f(Xn) � �Fn−1] =EXn−1 [f(X1)] = �
p(Xn−1,y)f(y)
y∈E
= pf(Xn−1) ≥ f(Xn−1). ✷
Satz 17.46. Ist X transient, so existiert keine invariante Verteilung.
Beweis. Nach Voraussetzung ist G(x, y) = �∞ n=0 pn (x, y) < ∞ für alle x, y ∈ E,
also pn (x, y) n→∞
−→ 0. Für jedes W-Maß μ auf E ist daher μpn (x) n→∞
−→ 0. Wäre
μ invariant, so wäre aber μpn (x) =μ(x) für jedes n ∈ N. ✷