Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

9.3 Diskretes stochastisches Integral 193
Bemerkung 9.38. Offenbar ist H ·X adaptiert an F. ✸
Sei X ein (möglicherweise unfaires) Spiel, wobei Xn − Xn−1 den Spielgewinn pro
Spielschein in der n-ten Runde bezeichnet. Wir interpretieren Hn als die Anzahl
der Spielscheine, die für das n-te Spiel eingesetzt werden, und verstehen H als
Spielstrategie. Offenbar muss die Entscheidung, wie groß Hn sein soll, zur Zeit
n − 1, also vor der Bekanntgabe des Ergebnisses Xn fallen. Das heißt, H muss
vorhersagbar sein.
Ist nun X ein faires Spiel, also ein Martingal, und ist H lokal � beschränkt (das
heißt, jedes Hn ist beschränkt), dann ist (wegen E[Xn+1 − Xn
�Fn] =0)
�
E[(H ·X)n+1
�Fn] =E[(H ·X)n + Hn+1(Xn+1 − Xn) � �Fn]
�
�Fn] =(H ·X)n + Hn+1 E[Xn+1 − Xn
=(H ·X)n.
Also ist H · X ein Martingal. Im folgenden Satz zeigen wir, dass auch die Umkehrung
gilt, also X ein Martingal ist, wenn für hinreichend viele vorhersagbare
Prozesse das stochastische Integral ein Martingal ist.
Satz 9.39 (Stabilitätssatz für Stochastische Integrale).
Sei (Xn)n∈N0 ein adaptierter, reeller stochastischer Prozess mit E[|X0|] < ∞.
(i) X ist genau dann ein Martingal, wenn für jeden lokal beschränkten, vorhersagbaren
Prozess H das stochastische Integral H ·X ein Martingal ist.
(ii) X ist genau dann ein Submartingal (Supermartingal), wenn H ·X ein Submartingal
(Supermartingal) ist für jedes beschränkte, vorhersagbare H ≥ 0.
Beweis. (i) ” =⇒ “ Dies hat die obige Diskussion schon gezeigt.
” ⇐= “ Wähle n0 ∈ N. Setze Hn = {n=n0}. Dannist(H ·X)n0−1 =0, also
0 = E � � � � � �
(H ·X)n0
�Fn0−1 = E Xn0
�Fn0−1 − Xn0−1.
(ii) Dies geht analog wie in (i). ✷
Der vorangehende Satz sagt uns insbesondere, dass wir keine (beschränkte) Spielstrategie
finden können, die aus einem Martingal (oder schlimmer: einem Supermartingal)
ein Submartingal machte. Genau dies wird einem aber natürlich durch
diverse Aufforderungen zum so genannten ” Systemlotto“ und Ähnlichem nahe gelegt.
Beispiel 9.40 (Petersburger Spiel). Wir führen Beispiel 9.14 fort (siehe auch Beispiel
4.22). Setzen wir Xn := D1 + ...+ Dn für n ∈ N0, soistX ein Martingal.
Die Spielstrategie Hn := 2 n−1 {D1=D2=...=Dn−1=−1} für n ∈ N und H0 =1ist