Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

90 4 Das Integral
Satz 4.17. Die Abbildung � · �1 ist eine Pseudonorm auf L 1 (μ), das heißt, es gilt
für f,g ∈L 1 (μ) und α ∈ R
�αf�1 = |α|·�f�1
�f + g�1 ≤�f�1 + �g�1
�f�1 ≥ 0 für alle f und �f�1 =0, falls f =0 f.ü.
(4.4)
Beweis. Die erste und dritte Aussage folgen aus Satz 4.9(iii) und Satz 4.8(i). Die
zweite folgt aus Satz 4.9(i), denn es ist |f + g| ≤|f| + |g|, also
�
� �
�f + g�1 = |f + g| dμ ≤ |f| dμ + |g| dμ = �f�1 + �g�1. ✷
Bemerkung 4.18. Tatsächlich ist � · �p für jedes p ∈ [1, ∞] eine Pseudonorm auf
L p (μ). Linearität und Positivität sind klar, und die Dreiecksungleichung ist die Minkowski’sche
Ungleichung, die wir in Satz 7.17 zeigen werden. ✸
Satz 4.19. Seien μ(Ω) < ∞ und 1 ≤ p ′ ≤ p ≤∞. Dann ist Lp (μ) ⊂Lp′ (μ), und
die kanonische Inklusion i : Lp (μ) ↩→ Lp′ (μ), f ↦→ f ist stetig.
Beweis. Sei f ∈L∞ (μ) und p ′ ∈ [1, ∞). Dannist|f| p′
�
|f| p′
�
dμ ≤
�f� p′
∞ dμ = �f� p′
∞ · μ(Ω) < ∞.
≤�f� p′
∞ fast überall, also
Für f,g ∈L∞ (μ) ist also �f − g�p ′ ≤ μ(Ω)1/p′ �f − g�∞ und damit ist i stetig.
Seien nun p, p ′ ∈ [1, ∞) mit p ′ 0 ist
|f − g| p′
= |f − g| p′
{|f−g|≤c} + |f − g| p′
Speziell erhalten wir mit c = �f − g�p
{|f−g|>c} ≤ c p′
+ c p′ −p p
|f − g| .
�
�f − g�p ′ ≤ c p′
μ(Ω)+c p′ � ′
1/p
−p p
�f − g�p =(1+μ(Ω)) 1/p′
�f − g�p.
Also ist i auch in diesem Falle stetig. ✷
Übung 4.1.1 (Folgenräume). Wir nehmen jetzt nicht mehr an, dass μ(Ω) < ∞ ist.
Man zeige: Gibt es ein a>0, sodass für jedes A ∈Aentweder μ(A) =0oder
μ(A) ≥ a gilt, so gilt die zu Satz 4.19 umgekehrte Inklusion
L p′
(μ) ⊂L p (μ), falls 1 ≤ p ′ ≤ p ≤∞. (4.5)
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