Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

280 14 W-Maße auf Produkträumen
Familie von Verteilungen (νt, t ≥ 0) mit der Eigenschaft νt+s = νt ∗ νs ersetzen.
Dies gilt speziell für die Familie der Gammaverteilungen νt = Γθ,t (für festes
θ>0), die Poissonverteilung νt =Poit, die negative Binomialverteilung νt = b − t,p
(für festes p ∈ (0, 1]), die Cauchy-Verteilung νt =Caut und andere (vergleiche
Satz 15.12 und Korollar 15.13). Wir halten dieses Ergebnis in einem Satz fest.
Definition 14.46 (Faltungshalbgruppe). Sei I ⊂ [0, ∞) eine Halbgruppe. Eine
Familie ν =(νt : t ∈ I) von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Rd heißt Faltungshalbgruppe,
falls νs+t = νs ∗ νt gilt für alle s, t ∈ I.
t→0
Ist I =[0, ∞) und gilt zudem νt −→ δ0, so heißt die Faltungshalbgruppe stetig
(im Sinne der schwachen Konvergenz).
Ist d = 1 und νt((−∞, 0)) = 0 für jedes t ∈ I, soheißtνeine nichtnegative
Faltungshalbgruppe.
Für den folgenden Satz vergleiche Definition 9.7.
Satz 14.47. Zu jeder Faltungshalbgruppe (νt : t ∈ I) und jedem x ∈ R d existiert
ein W-Maß Px auf dem Produktraum (Ω,A) = � (R d ) I , B(R d ) ⊗I� , sodass der
kanonische Prozess (Xt)t∈I ein stochastischer Prozess mit Px[X0 = x] =1und
stationären unabhängigen Zuwächsen ist mit Px ◦ (Xt − Xs) −1 = νt−s für t>
s. Umgekehrt definiert jeder stochastische Prozess (Xt)t∈I (auf einem beliebigen
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P)) mit stationären unabhängigen Zuwächsen eine
Faltungshalbgruppe durch νt = P ◦ (Xt − X0) −1 für jedes t ∈ I.
Übung 14.4.1. Sei (νt : t ≥ 0) eine stetige Faltungshalbgruppe. Man zeige: Für
jedes t>0 gilt νt = lims→t νs. ♣
Übung 14.4.2. Sei (νt : t ≥ 0) eine Faltungshalbgruppe. Man zeige: Für νt/n n→∞
−→
δ0. ♣
Übung 14.4.3. Man zeige: Eine nichtnegative Faltungshalbgruppe ist stetig. ♣
Übung 14.4.4. Man zeige: Eine stetige, reelle Faltungshalbgruppe (νt : t ≥ 0) mit
νt((−∞, 0)) = 0 für ein t>0 ist nichtnegativ. ♣