Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

104 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Übung 5.1.2. Sei X ∼ βr,s eine Beta-verteilte Zufallsvariable mit Parametern
r, s > 0 (vergleiche Beispiel 1.107(ii)). Man zeige
E[X n ]=
n−1 �
k=0
r + k
r + s + k
für jedes n ∈ N. ♣
Übung 5.1.3. Es seien X1,X2,...u.i.v. nichtnegative Zufallsvariablen. Man zeige
mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli:
1
lim sup
n→∞ n Xn
�
0 f.s., falls E[X1] < ∞,
=
♣
∞ f.s., falls E[X1] =∞.
Übung 5.1.4. Es seien X1,X2,... u.i.v. nichtnegative Zufallsvariablen Man zeige
mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli: Für jedes c ∈ (0, 1) gilt
∞�
lim sup e
n→∞
Xn c n
�
< ∞ f.s., falls E[X1] < ∞,
♣
= ∞ f.s., falls E[X1] =∞.
n=1
5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl
Satz 5.11 (Markov’sche Ungleichung, Chebyshev’sche Ungleichung).
Sei X eine Zufallsvariable und f :[0, ∞) → [0, ∞) monoton wachsend. Dann
gilt für jedes ε>0 mit f(ε) > 0 die Markov’sche Ungleichung
P � |X| ≥ε � ≤ E[f(|X|)]
.
f(ε)
Im Spezialfall f(x) =x 2 erhalten wir P � |X| ≥ε � ≤ ε −2 E � X 2� und, falls
X ∈L 2 (P), insbesondere die Chebyshev’sche Ungleichung
Beweis. Es gilt
P � |X − E[X]| ≥ε � ≤ ε −2 Var[X].
E[f(|X|)] ≥ E � �
f(|X|) {f(|X|)≥f(ε)}
≥ E � �
f(ε) {f(|X|)≥f(ε)}
≥ f(ε) P � |X| ≥ε � . ✷