Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 177
Beweis. Die Strategie besteht darin, eine messbare Version der Verteilungsfunktion
der bedingten Verteilung von Y zu konstruieren, indem diese zunächst für rationale
Werte festgelegt wird (bis auf eine Nullmenge) und dann auf die reellen Zahlen
fortgesetzt wird.
Für r ∈ Q sei F (r, · ) eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit P[Y ∈
(−∞,r]|F]. Für r ≤ s ist offenbar {Y ∈(−∞,r]} ≤ {Y ∈(−∞,s]}, also gibt es
nach Satz 8.14(ii) (Monotonie der bedingten Erwartung) eine Nullmenge Ar,s ∈F
mit
F (r, ω) ≤ F (s, ω) für jedes ω ∈ Ω \ Ar,s.
Nach Satz 8.14(viii) (majorisierte Konvergenz) gibt es Nullmengen (Br)r∈Q ∈F
und C ∈F, sodass
lim
n→∞ F
�
r + 1
n ,ω
�
= F (r, ω) für jedes ω ∈ Ω \ Br und
lim F (−n, ω) =0, lim F (n, ω) =1 für jedes ω ∈ Ω \ C.
n→∞ n→∞
Setze N := �
r,s∈Q Ar,s ∪ �
r∈Q Br ∪ C.Für ω ∈ Ω \ N definieren wir
˜F (z,ω) :=inf � F (r, ω) : r ∈ Q, r≥ z �
für alle z ∈ R.
Da F ( · ,ω) monoton wachsend ist, ist ˜ F ( · ,ω) monoton wachsend und rechtsstetig
in jedem z ∈ R \ Q. DaF ( · ,ω) zudem rechtsstetig ist, ist ˜ F ( · ,ω) rechtsstetig in
jedem z ∈ Q. Alsoist˜ F ( · ,ω) eine Verteilungsfunktion für jedes ω ∈ Ω \ N. Für
ω ∈ N setze ˜ F ( · ,ω)=F0, wobei F0 eine beliebige fest gewählte Verteilungsfunktion
ist.
Für jedes ω ∈ Ω definieren wir κ(ω, · ) als das durch die Verteilungsfunktion
˜F ( · ,ω) definierte W-Maß auf (Ω,A). Für r ∈ Q und B =(−∞,r] ist dann
ω ↦→ κ(ω, B) =P[Y ∈ B |F](ω) N c(ω)+F0(r) N (ω) (8.8)
F-messbar. Nun ist {(−∞,r], r∈ Q} ein schnittstabiler Erzeuger von B(R). Nach
Bemerkung 8.25 gilt die Messbarkeit also für jedes B ∈B(R), und damit ist κ als
stochastischer Kern erkannt.
Wir müssen noch zeigen, dass κ eine Version der bedingten Verteilungen ist. Für
A ∈F, r ∈ Q und B =(−∞,r] ist nach (8.8)
�
�
κ(ω, B) P[dω] = P � Y ∈ B |F � dP = P � A ∩{Y ∈ B} � .
A
A
Als Funktion von B sind beide Seiten endliche Maße auf B(R), die auf dem schnittstabilen
Erzeuger � (−∞,r],r∈ Q � übereinstimmen. Nach dem Eindeutigkeitssatz
(Lemma 1.42) gilt daher für jedes B ∈B(R) Gleichheit und damit P-fast sicher
κ( · ,B)=P[Y ∈ B |F], also κ = κY,F. ✷