Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

436 21 Die Brown’sche Bewegung
21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften
Definition 21.8. Ein reellwertiger stochastischer Prozess B =(Bt, t ∈ [0, ∞))
heißt Brown’sche Bewegung, falls
(i) B0 =0,
(ii) B hat unabhängige, stationäre Zuwächse (vergleiche Definition 9.7),
(iii) Bt ∼N0,t für t>0,
(iv) P-fast sicher gilt: t ↦→ Bt ist stetig.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5 1 1.5 2
Abb. 21.1. Computersimulation einer Brown’schen Bewegung.
Satz 21.9. Es existiert ein W-Raum (Ω,A, P) und eine Brown’sche Bewegung B
auf (Ω,A, P). Die Pfade von B sind f.s. lokal Hölder-γ-stetig für jedes γ< 1
2 .
Beweis. Wie in Beispiel 14.45 oder Korollar 16.10 gibt es einen stochastischen
D
Prozess X, der (i), (ii) und (iii) erfüllt. Offenbar ist Xt−Xs = √ t − sX1 ∼N0,t−s
für alle t>s≥ 0. Es gilt daher für jedes n ∈ N und Cn := E[X2n n ]= (2n)!
2nn! < ∞
�
E (Xt − Xs) 2n�
��√t �2n
= E − sX1
�
= Cn |t − s| n .
Sei nun n ≥ 2 und γ ∈ (0, n−1
2n ). Satz 21.6 liefert die Existenz einer Version B
von X mit Hölder-γ-stetigen Pfaden. Da alle stetigen Versionen eines Prozesses
äquivalent sind, ist B lokal Hölder-γ-stetig für jedes γ ∈ (0, n−1
2n ) und jedes n ≥ 2,
also für jedes γ ∈ (0, 1
2 ). ✷