Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie 503
mehr um die Nullstellen von I herum konzentriert liegt. In der statistischen Physik
ist es oftmals von Interesse, Funktionen bezüglich με (wobei 1/ε als ” Systemgröße“
verstanden wird) zu integrieren, die ihren größten Wert nicht in den Nullstellen von
I annehmen, und die zudem noch exponentiell mit 1/ε skalieren. Es soll also die
Asymptotik von Z φ ε := � e φ(x)/ε με(dx) für ε → 0 untersucht werden. Unter harmlosen
Stetigkeitsannahmen tragen zu dem Integral hauptsächlich diejenigen Punkte
x bei, für die φ(x) groß ist, die aber gleichzeitig nicht zu unwahrscheinlich sind,
also diejenigen x, für die φ(x) − I(x) die größten Werte annimmt. Die Beiträge
messen wir durch die gekippten W-Maße μ φ ε (dx) =(Z φ ε ) −1 e φ(x)/ε με(dx), für die
wir ein LDP herleiten. Als Anwendung folgern wir das Prinzip der Minimierung der
freien Energie in der statistischen Physik und analysieren speziell den Weiss’schen
Ferromagneten.
Satz 23.17 (Varadhan’sches Lemma (1966)). Sei I eine gute Ratenfunktion und
(με)ε>0 eine Familie von W-Maßen, die ein LDP mit Ratenfunktion I erfüllt. Sei
ferner φ : E → R stetig und erfülle die Bedingung
�
Dann gilt
inf lim sup ε log
M>0 ε→0
�
lim ε log
ε→0
e φ(x)/ε {φ(x)≥M} με(dx) =−∞. (23.17)
e φ(x)/ε � �
με(dx) =supφ(x)
− I(x) . (23.18)
x∈E
Bemerkung 23.18. Die Bedingung (23.17) folgt aus der etwas griffigeren Bedingung,
dass es ein α>1 gibt mit
�
lim sup ε log e
ε→0
αφ/ε dμε < ∞. (23.19)
In der Tat: Für jedes M ∈ R ist
�
ε log
e φ(x)/ε {φ(x)≥M} με(dx) =M + ε log
�
e (φ(x)−M)/ε {φ(x)≥M} με(dx)
�
≤ M + ε log e α(φ(x)−M)/ε με(dx)
�
= −(α − 1)M + ε log e αφ(x)/ε με(dx).
Hieraus und aus (23.19) folgt sofort (23.17). ✸
Beweis. Wir zeigen mit unterschiedlichen Argumenten, dass die rechte Seite in
(23.18) eine untere Schranke und eine obere Schranke für die linke Seite ist.