Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

108 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli gibt es daher für P-f.a. ω ein n0 = n0(ω) mit
�
�
�Skn
�
�
� − E[X1] �
� < (1 + ε)−n/4 für jedes n ≥ n0.
kn
Also gilt
�
�
lim sup �k
n→∞
−1
�
�
n Skn − E[X1] � =0 fast sicher.
Für hinreichend großes n ∈ N ist kn+1 ≤ (1 + 2ε)kn. Für l ∈{kn,...,kn+1} ist
dann
1
1+2ε k−1
n Skn
≤ k−1
n+1 Skn ≤ l−1 Sl ≤ k −1
n Skn+1
≤ (1 + 2ε) k−1 Skn+1 n+1 .
Wegen 1 − (1 + 2ε) −1 ≤ 2ε folgt
�
�
lim sup �l
l→∞
−1 �
�
�
�
Sl − E[X1] � ≤ lim sup �k
n→∞
−1
�
�
n Skn − E[X1] � +2ε lim sup
n→∞
≤ 2ε E[X1] fast sicher,
k −1
n Skn
und damit gilt das starke Gesetz der großen Zahl. ✷
Die Ähnlichkeit der Varianzabschätzungen im schwachen Gesetz der großen Zahl
und in (5.6) legen nahe, dass im vorangehenden Satz auf die Bedingung verzichtet
werden kann, dass die Zufallsvariablen X1,X2,... identisch verteilt sind, wenn
man nur fordert, dass die Varianzen beschränkt sind (siehe Übung 5.3.1).
Wir können die Bedingung in Satz 5.16 in anderer Weise abschwächen, indem wir
nur Integrierbarkeit statt Quadratintegrierbarkeit der Zufallsvariablen fordern.
Satz 5.17 (Starkes Gesetz der großen Zahl von Etemadi (1981)). Es seien
X1,X2,... ∈L 1 (P) paarweise unabhängig und identisch verteilt. Dann genügt
(Xn)n∈N dem starken Gesetz der großen Zahl.
Wir folgen dem Beweis in [38]. Setze im Folgenden μ = E[X1]. Zur Vorbereitung
des Beweises stellen wir ein paar Lemmata bereit.
Lemma 5.18. Für n ∈ N seien Yn := Xn {|Xn|≤n} und Tn = Y1 + ···+ Yn. Die
Folge (Xn)n∈N erfüllt das starke Gesetz der großen Zahl, falls Tn/n n→∞
−→ μ f.s.
Beweis. Nach Satz 4.26 ist ∞�
P
n=1
� |Xn| >n � ≤ E � |X1| � < ∞. Nach dem Lemma
von Borel-Cantelli ist daher
P � Xn �= Yn für unendlich viele n � =0.
Es gibt also ein n0 = n0(ω) mit Xn = Yn für jedes n ≥ n0. Daher gilt für n ≥ n0
Tn − Sn
n
= Tn0 − Sn0
n
n→∞
−→ 0. ✷