Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten 423
Sei (Xn)n∈N ein stationärer Prozess mit Werten in R d . Setze Sn := � n
k=1 Xk für
jedes n ∈ N0. Ferner sei
Rn = � �{S1,...,Sn} � �
die Anzahl der von S bis zur Zeit n besuchten Punkte (der so genannte Range).
Außerdem sei A := {Sn �= 0für jedes n ∈ N} das ” Fluchtereignis“.
Satz 20.19. Es gilt lim
n→∞
1
n Rn = P[A|I] fast sicher.
Beweis. Wir nehmen an, dass X der kanonische Prozess ist auf (Ω,A, P) =
� (R d ) N , B(R d ) ⊗N , P � , und dass τ : Ω → Ω der Shift ist, also Xn = X0 ◦ τ n .
Offenbar ist
Rn =# � k ≤ n : Sl �= Sk für jedes l ∈{k +1,...,n} �
≥ # � k ≤ n : Sl �= Sk für jedes l>k �
=
n�
k=1
A ◦ τ k .
Der Birkhoff’sche Ergodensatz liefert nun
lim inf
n→∞
1
n Rn ≥ P[A|I] f.s. (20.5)
Für die andere Ungleichung betrachte Am = {Sl �= 0für jedes l =1,...,m}.
Dann ist für n ≥ m
Rn ≤ m +# � k ≤ n − m : Sl �= Sk für jedes l ∈{k +1,...,n} �
≤ m +# � k ≤ n − m : Sl �= Sk für jedes l ∈{k +1,...,k+ m} �
n−m �
= m +
k=1
Am ◦ τ k .
Der Ergodensatz liefert wieder
lim sup
n→∞
1
n Rn
�
≤ P[Am
�I] f.s. (20.6)
Wegen Am ↓ A und P[Am
�
�I] n→∞
−→ P[A|I] fast sicher (nach Satz 8.14(viii)) folgt
aus (20.5) und (20.6) die Aussage. ✷