Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung 531
� � T
E (Hs − H
0
n s ) 2 �
n→∞
ds −→ 0. (25.3)
Schritt 1. Sei zunächst H stetig und beschränkt. Setze H n 0 =0 und
H n t = H i2 −n T falls i2 −n TT.DannistH n ∈E, und es gilt H n t (ω) n→∞
−→ Ht(ω) für alle
t>0 und ω ∈ Ω. Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz gilt (25.3).
Schritt 2. Sei nun H progressiv messbar und beschränkt. Es reicht zu zeigen,
dass es stetige, adaptierte Prozesse Hn , n ∈ N, gibt, für die (25.3) gilt. Sei
H n � t∧T
t := n
Hs ds für t ≥ 0, n∈ N.
(t−1/n)∨0
Dann ist H n stetig und adaptiert und durch �H�∞ beschränkt. Nach dem Hauptsatz
der Differential- und Integralrechnung (siehe Übung 13.1.7) gilt
H n t (ω) n→∞
−→ Ht(ω) für λ − fast alle t ∈ [0,T] und für jedes ω ∈ Ω. (25.4)
Nach dem Satz von Fubini und dem Satz über majorisierte Konvergenz gilt daher
� � T
E (Hs − H n s ) 2 �
ds =
�
�
Hs(ω) − H n s (ω) �2 n→∞
(P ⊗ λ)(d(ω, s)) −→ 0.
0
Ω×[0,T ]
Schritt 3. Sei nun H progressiv messbar und E � � ∞
0 H2 t dt � < ∞. Es reicht
zu zeigen, dass es eine Folge (H n )n∈N von beschränkten, progressiv messbaren
Prozessen gibt, sodass (25.3) gilt. Offenbar kann hierzu aber H n t = Ht {|Ht|