Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

368 18 Konvergenz von Markovketten
(nx,y + ny,z)d + Lx,y + Ly,z ∈ N(x, z).
Mit z = x folgt: d � � (Lx,y + Ly,x), also ist Lx,y eindeutig in {0,...,d− 1} und
Lx,y = −Ly,x (mod d). Für allgemeines z folgt: d � � (Lx,y + Ly,z + Lz,x), also gilt
(18.3). ✷
Satz 18.4. Sei X irreduzibel mit Periode d. Dann existiert eine disjunkte Zerlegung
des Zustandsraums
mit der Eigenschaft
E =
d−1 �
i=0
Ei
(18.5)
p(x, y) > 0 und x ∈ Ei =⇒ y ∈ E i+1 (mod d). (18.6)
Bis auf zyklische Vertauschung ist diese Zerlegung eindeutig.
E2
E0
Abb. 18.3. Markovkette mit Periode d =3.
Die Eigenschaft (18.6) besagt gerade, dass X die Mengen Ei nacheinander besucht
und zu jedem Zeitschritt in das nächste Ei wechselt (siehe Abb. 18.3 oder Abb. 18.2,
wo d =2, E0 = {1, 3, 5, 7} und E1 = {2, 4, 6, 8} ist). � Etwas formaler können � wir
dies schreiben als: Ist x ∈ Ei für gewisses i, soistPxXn
∈ Ei+n (mod d) =1.
Beweis. ” Existenz“ Wähle ein beliebiges x0 ∈ E und setze
Ei := � y ∈ E : Lx0,y = i �
für i =0,...,d− 1.
Offenbar gilt (18.5). Sei i ∈{0,...,d− 1} und x ∈ Ei. Isty ∈ E mit p(x, y) > 0,
so ist Lx,y =1, also ist Lx0,y = Lx0,x + Lx,y = i +1(modd).
” Eindeutigkeit“ Sei ( � Ei, i =0,..., � d − 1) eine weitere Zerlegung, die (18.5)
und (18.6) erfüllt. Ohne Einschränkung sei E0 ∩ � E0 �= ∅ (sonst vertausche die � Ei
zyklisch bis dies gilt) und x0 ∈ E0 ∩ � E0 beliebig. Nach Voraussetzung impliziert
E1