Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

174 8 Bedingte Erwartungen
Tat: Sei P = μ/μ(Ω) und Q = ν/μ(Ω). DannistfF = dQ � � /dP
F
� � .Für jedes
F
F ∈ F ist also E[fF F ] = �
F fF dP = Q(F ) = �
F fdP = E[f F ], also
fF = E[f |F]. Nach dem vorangehenden Korollar ist (fF : F∈I) gleichgradig
integrierbar bezüglich P und damit auch bezüglich μ. ✸
Übung 8.2.1. (Bayes’sche Formel) Seien A ∈Aund B ∈F. Man zeige
�
P[A|F] dP
B P[B |A] = � .
P[A|F] dP
Wird F von paarweise disjunkten Mengen B1,B2,... erzeugt, so ist dies gerade
die Bayes’sche Formel aus Satz 8.7. ♣
Übung 8.2.2. Man zeige durch ein Beispiel, dass E[E[X |F]|G] �= E[E[X |G]|F]
gelten kann. ♣
Übung 8.2.3. Man zeige die bedingte Markov’sche Ungleichung: Für monoton
wachsendes f :[0, ∞) → [0, ∞) und ε>0 mit f(ε) > 0 ist
P � |X| ≥ε|F � ≤ E�f(|X|) � �
�F . ♣
f(ε)
Übung 8.2.4. Man zeige die bedingte Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung: Für quadratintegrierbare
Zufallsvariablen X, Y gilt
E[XY |F] 2 ≤ E[X 2 |F] E[Y 2 |F]. ♣
Übung 8.2.5. Seien X1,...,Xn integrierbar, unabhängig und identisch verteilt. Sei
Sn = X1 + ...+ Xn. Zeige:
E[Xi |Sn] = 1
n Sn für jedes i =1,...,n. ♣
Übung 8.2.6. Seien X1 und X2 unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter
θ>0. Man bestimme E[X1 ∧ X2 |X1]. ♣
Übung 8.2.7. Seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f,
und sei h : R → R messbar mit E[|h(X)|] < ∞. Es bezeiche λ das Lebesgue-Maß
auf R.
(i) Zeige, dass fast sicher gilt:
E[h(X)|Y ]=
� h(x)f(x, Y ) λ(dx)
� f(x, Y ) λ(dx)
(ii) Seien speziell X und Y unabhängig und exp θ-verteilt für ein θ>0. Bestimme
E[X |X + Y ] und P[X ≤ x|X + Y ] für x ≥ 0. ♣
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