Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

482 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Beweis (Satz 22.5). Wir nehmen zunächst an, dass X nur die zwei Werte u0: Bt ∈{u, v} � .
D
Nach Übung 21.2.4 ist E[Bτu,v ]=0also Bτu,v = X,sowieE[τu,v] =−uv.
Sei nun X beliebig mit E[X] =0und σ2 := E[X2 ] < ∞. Setze μ = PX und
θ = θμ wie in Lemma 22.8. Ferner sei Ξ =(Ξu,Ξv) eine Zufallsvariable mit
Werten in (−∞, 0) × [0, ∞) und Verteilung θ.
Sei F =(Ft)t≥0, wobei Ft := σ(Ξ, Bs : s ∈ [0,t]) ist. Setze τ := τΞu,Ξv .Auf
Grund der Stetigkeit von B und wegen τ ≤ τu,v, falls uΞv, istfür
jedes t ≥ 0
{τ ≤ t} = �
u,v∈Q
u