Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

282 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
wenn beide Integrale existieren und endlich sind. Mit Cb(E; C) bezeichnen wir den
Banachraum der stetigen, beschränkten, komplexwertigen Funktionen auf E, ausgestattet
mit der Supremumsnorm �f�∞ =sup{|f(x)| : x ∈ E}. Wir nennen
C⊂Cb(E; C) trennend für Mf (E), falls es für je zwei Maße μ, ν ∈Mf (E) mit
μ �= ν ein f ∈Cgibt mit � fdμ �= � fdν. Satz 13.34 gilt für C ⊂ Cb(E; C)
sinngemäß.
Definition 15.1. Sei K = R oder K = C. Eine Teilmenge C ⊂ Cb(E; K) heißt
Algebra, falls
(i) 1 ∈C,
(ii) für f,g ∈Csind f · g ∈Cund f + g ∈C,
(iii) für f ∈Cund α ∈ K ist (αf) ∈C.
C heißt Punkte trennend, falls es zu je zwei Punkten x, y ∈ E mit x �= y ein f ∈C
gibt mit f(x) �= f(y).
Satz 15.2 (Stone-Weierstraß). Sei E ein kompakter Hausdorffraum. Sei K = R
oder K = C. SeiC⊂Cb(E; K) eine Punkte trennende Algebra. Ist K = C, sosei
C zusätzlich abgeschlossen bezüglich komplexer Konjugation (das heißt, mit f ist
stets auch die komplex konjugierte Funktion f in C).
Dann liegt C dicht in Cb(E; K) bezüglich der Supremumsnorm.
Beweis. Wir folgen der Darstellung in Dieudonné ([34, Kapitel VII.3]). Sei zunächst
der Fall K = R betrachtet. Wir gehen in mehreren Schritten vor.
1. Schritt Nach dem Weierstraß’schen Approximationssatz (Beispiel 5.15) gibt
es eine Folge (pn)n∈N von Polynomen, die die Abbildung [0, 1] → [0, 1], t ↦→ √ t
gleichmäßig approximiert. Ist f ∈C, so ist also |f| = �f�∞ limn→∞ pn(f 2 /�f�2 ∞)
im Abschluss C von C in Cb(E; R).
2. Schritt Indem wir den 1. Schritt auf die Algebra C anwenden, folgt, dass mit
f,g ∈ C auch f ∨ g = 1
1
2 (f + g + |f − g|) und f ∧ g = 2 (f + g −|f − g|) in C
liegen.
3. Schritt Für jedes f ∈ Cb(E; R), jedes x ∈ E und jedes ε>0 existiert ein
gx ∈ C mit gx(x) =f(x) und gx(y) ≤ f(y) +ε für jedes y ∈ E. DaC Punkte
trennt, existiert für jedes z ∈ E \{x} ein Hz ∈Cmit Hz(z) �= H(x) =0.Für diese
z definieren wir hz ∈Cdurch hz(y) =f(x) + f(z)−f(x)
Hz(z) Hz(y) für jedes y ∈ E.
Zudem setzen wir hx := f. Dannisthz(x) =f(x) und hz(z) =f(z) für jedes
z ∈ E. Daf und hz stetig sind, existiert zu jedem z ∈ E eine offene Umgebung
Uz ∋ z mit h(y) ≤ f(y)+ε für jedes y ∈ Uz. Wir bilden eine endliche Überdeckung
Uz1 ,...,Uzn von E mit solchen Umgebungen und setzen gx =min(hz1 ,...,hzn ).
Nach Schritt 2 ist gx ∈ C.